Тема 2.5 Определенный интеграл.

2.51 Понятие определенного интеграла,

его геометрический смысл.

Задача о площади криволинейной трапеции.

Пусть на отрезке [a;b] задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью у=0

(рис. 10).

у y= f(x) y y=f(x) ломаная

S S_л

0 a b x 0 a b x

Рис.10 рис.11

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой y= f(x) на [a;b] (рис.11) . фигура под ломаной состоит из трапеций ( прямоугольников) , и ее площадь S_л ( равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство S≈ S_л. Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади S_л под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. На этом пути мы получим понятие определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы.

Пусть на [a;b] задана функция у=f(x). Разобьем отрезок [a;b] на n элементарных отрезков точками x₀, x₁,…, x_n: a=x₀<x₁<x₂<…<x_n=b. На каждом отрезке [x_i_-1,x_i] разбиения выберем некоторую точку ξ_iи положим Δ x_i=x_i-x_i_-1, где i=1,2,3,…,n. Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка [a;b] точками x₀, x₂, …, x_n, так и от выбора точек ξ_1,ξ_{2, …} ξ_nна каждом из отрезков разбиения [x _i-1, x_i], где

i=1, 2, … n.

Геометрический смысл интегральной суммы.

Пусть функция y= f(x) неотрицательна на [a;b] . отдельное слагаемое f(ξ_i)^.Δx_i интегральной суммы в этом случае равно S_i прямоугольника со сторонами f(ξ_i) и Δx_i, где i=1, 2, … n ( см. рис. 12, где х₀-х₁= Δx₁, х₂-х₁= Δx₂, и т.д.)

Другими словами S_i – это площадь пд прямой y= f(ξ _i) на отрезке [x_i_-1,x_i]. Поэтому вся интегральная сумма равна площади S=S₁+S₂+_…+S_n под ломаной, образо-

y y=f(x)

f(ξ₃)

f(ξ₂)

f(ξ₁)

0 a=x₀ξ₁x₁ξ₂ x₂ ξ₃ x₃x

Рис.12

ванной на каждом из отрезков [x_i_-1,x_i] прямой y= f(ξ _i) параллельной оси абсцисс ( рис.12)

Понятие определенного интеграла.

Для избранного разбиения отрезка [a;b] на части обозначим через

максимальную из длин отрезков [x_i_-1,x_i], где i=1, 2, … n.

Определение.Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х₁, х₂,… и точек ξ_1,ξ_{2, …} .Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции y=f(x) на [a,b], обозначается , а сама функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b], т.е.

= .

При этом число а называется нижним пределом, число b- его верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражениеf(x)dx- подынтегральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции f(x) на отрезке [a,b].

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как - представляет семейство функций, - есть определенное число.

Геометрический смысл определенного интеграла.

Понятие определенного интеграла введено таким образом , что в случае, когда функция y=f(x) неотрицательна на отрезке [a,b], где a<b, численно равен площади S под кривой y=f(x) на [a,b] (см. рис. 10). Действительно, при стремлении к нулю ломаная (см. рис.12) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

2.52 Свойства определенного интеграла.

Формула Ньютона-Лейбница.

Свойства определенного интеграла:

1.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е

=k ,

где k- некоторое число.

2.Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

= .

3.Если отрезок интегрирования разбит на части , то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b, с:

Формула Ньютона –Лейбница:

Основная формула интегрального исчисления, традиционно связана с именами И. Ньютона и Г. Лейбница.

Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) –любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона- Лейбница можно использовать любую первообразную F(x) для подынтегральной функции f(x).например, имеющую наиболее простой вид при С=0.

Например. Вычислить: а)

Решение :

а) произвольная первообразная для функции f(x)=х² имеет вид для нахождения интеграла по формуле Ньютона- Лейбница возьмем такую первообразную, у которой С=0. Тогда

Ответ : .

b) первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (4). Применяя формулу Ньютона- Лейбница получаем

Ответ: .

2.53 Вычисление площадей плоских фигур.

1 способ2 способ

у y y=f₁(x)

у=f(x)

y=f(x)

₀х=а х=b 0 x=a x=b x

f₂(x)<f₁(x)

3 способ

y=f(x)

y=k

0 x=a x=b x

Рис.13Площади плоских фигур

Например . Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями:

а) , х=0, у=4; б) у= х²-2, у=х.

а)

Решение: из чертежа видно , что искомая площадь S криволинейного треугольника ОАВ равна разности двух площадей: S=S_ОАВС-S_ОВС, каждая их которых находиться по геометрическому смыслу интеграла.

В у=4