Неопределённый интеграл.
Определение. Задана 
Её первообразной в области D называется такая Ф, что 
в области D.
Утверждение1. Если первообразная 
то она определена с точностью до аддитивной константы.
Доказательство. Пусть 
(доказать).
Утверждение2. Если первообразная то функция f – голоморфна.
Доказательство. 
=f , т.е. Ф – голоморфна 
голоморфна (только у голоморфной функции бывает первообразная).
Теорема3 (Теорема о существовании первообразной). Если функция f голоморфна в односвязной области D, то она имеет первообразную в этой области.
|
фиксированная точка области, z – переменная точка. Интеграл берётся по любой спрямляемой кривой, соединяющей эти 2 точки и лежащей в области D. По интегральной теореме Коши интеграл не зависит от кривой. Докажем, что она будет первообразной.
надо доказать, что это 
. Будем
интегрировать по отрезку. Функция f непрерывна. Напишем определение непрерывности:
, таким образом, 
т.е. 
Следствие (Ньютона-Лейбница в комплексной плоскости). Если f - голоморфна в односвязной области D и Ф – первообразная, то 
интеграл берётся по любой спрямляемой кривой.
Это следствие самого доказательства теоремы.
Замечание. В многосвязной области теорема не верна.
Пример. 
голоморфна в С*. Локально первообразная 
определена, а глобально нет (для всего С*).
Замечание. При доказательстве теоремы3 мы пользовались только 2мя свойствами голоморфной функции: 1) непрерывность
2) интеграл по замкнутому контуру равен 0.
Дата добавления: 2015-09-02; просмотров: 821;