Неопределённый интеграл.

 

Определение. Задана Её первообразной в области D называется такая Ф, что в области D.

Утверждение1. Если первообразная то она определена с точностью до аддитивной константы.

Доказательство. Пусть (доказать).

 

Утверждение2. Если первообразная то функция f – голоморфна.

 

Доказательство. =f , т.е. Ф – голоморфна голоморфна (только у голоморфной функции бывает первообразная).

 

Теорема3 (Теорема о существовании первообразной). Если функция f голоморфна в односвязной области D, то она имеет первообразную в этой области.

 

Доказательство. Рассмотрим фиксированная точка области, z – переменная точка. Интеграл берётся по любой спрямляемой кривой, соединяющей эти 2 точки и лежащей в области D. По интегральной теореме Коши интеграл не зависит от кривой. Докажем, что она будет первообразной.

надо доказать, что это . Будем

интегрировать по отрезку. Функция f непрерывна. Напишем определение непрерывности:

, таким образом, т.е.

 

Следствие (Ньютона-Лейбница в комплексной плоскости). Если f - голоморфна в односвязной области D и Ф – первообразная, то интеграл берётся по любой спрямляемой кривой.

 

Это следствие самого доказательства теоремы.

Замечание. В многосвязной области теорема не верна.

 

Пример. голоморфна в С*. Локально первообразная определена, а глобально нет (для всего С*).

 

Замечание. При доказательстве теоремы3 мы пользовались только 2мя свойствами голоморфной функции: 1) непрерывность

2) интеграл по замкнутому контуру равен 0.

 








Дата добавления: 2015-09-02; просмотров: 816;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.