Неопределённый интеграл.
Определение. Задана Её первообразной в области D называется такая Ф, что в области D.
Утверждение1. Если первообразная то она определена с точностью до аддитивной константы.
Доказательство. Пусть (доказать).
Утверждение2. Если первообразная то функция f – голоморфна.
Доказательство. =f , т.е. Ф – голоморфна голоморфна (только у голоморфной функции бывает первообразная).
Теорема3 (Теорема о существовании первообразной). Если функция f голоморфна в односвязной области D, то она имеет первообразную в этой области.
|
надо доказать, что это . Будем
интегрировать по отрезку. Функция f непрерывна. Напишем определение непрерывности:
, таким образом, т.е.
Следствие (Ньютона-Лейбница в комплексной плоскости). Если f - голоморфна в односвязной области D и Ф – первообразная, то интеграл берётся по любой спрямляемой кривой.
Это следствие самого доказательства теоремы.
Замечание. В многосвязной области теорема не верна.
Пример. голоморфна в С*. Локально первообразная определена, а глобально нет (для всего С*).
Замечание. При доказательстве теоремы3 мы пользовались только 2мя свойствами голоморфной функции: 1) непрерывность
2) интеграл по замкнутому контуру равен 0.
Дата добавления: 2015-09-02; просмотров: 825;