Первообразная функция и неопределенный интеграл

Интегральное исчисление

Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на промежутке X, если в каждой точке х этого промежутка
F '(x) = f(x) (т.е. производная от первообразной равна самой функции).

Например, F(x) = х³/3 является первообразной для функции
f(x) = х², так как (х³/3)` = х².

Отметим, что для каждой функции ее первообразная определена неоднозначно. Например, для функции f(x) = х² первообразными являются функции F₁(x) = х³/3 + 7, F₂(x) = х³/3 - 10 и вообще любая функция вида
F(x) = х³/3 + С, где С – некоторая константа. В этом легко убедиться, если взять производные этих функций (производная константы равна нулю).

Аналогично в общем случае, если F(x) - некоторая первообразная для f(x), то, поскольку ((F(x) + C) ' = F '(х) = f(x), все функции вида F(x) + C, где С - произвольное число, также являются первообразными для f(x).

Из изложенного пока не ясно, можно ли описать в виде F(x) + C все первообразные для заданной функции f(x) (может быть, существуют и другие первообразные, которые нельзя представить в виде суммы найденной первообразной и константы).

Теорема. Если F₁(x) и F₂(х) — первообразные для функции f(x), то найдется такое число С, что будет справедливо равенство F₂(x) = F₁(x) + C.

Доказательство.

(F₂(x) – F₁(х))' = F₂'(x) – F₁'(х) = f(x) - f(x) = 0

По следствию из теоремы Лагранжа если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция тождественно постоянна на этом промежутке. Следовательно, разность между этими первообразными будет представлять собой константу С: F₂(x) – F₁(х) = С Û F₂(x) = F₁(x) + C .

Из данной теоремы следует, что выражением F(x) + C заданы все возможные первообразные для f(x).

Совокупность всех первообразных для функции f(x) на промежутке X называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается
ò f(x)dx, где ò - знак интеграла, f(x) - подынтегральная функция, f(x)dx - подынтегральное выражение. Таким образом, ò f(x)dx = F(x) + C.

Операция нахождения неопределенного интеграла от некоторой функции называется интегрированием этой функции.

Можно доказать, что достаточным условием интегрируемости функции на промежутке X является непрерывность этой функции на данном промежутке (в то время как для для дифференцируемости функции ее непрерывность является лишь необходимым, но недостаточным условием).