Методы интегрирования. Рассмотрим некоторые основные методы интегрирования
Рассмотрим некоторые основные методы интегрирования. К ним относятся:
1. Метод разложения (непосредственного интегрирования).
Этот методоснован на непосредственном применении табличных интегралов, а также на применении свойств 4 и 5 неопределенного интеграла (т.е. на выносе за скобку постоянного сомножителя и/или представления подынтегральной функции в виде суммы функций – разложения подынтегральной функции на слагаемые).
Пример 1. Например, для нахождения ò(dx/x4) можно непосредственно воспользоваться табличным интегралом для òxndx. В самом деле,
ò(dx/x4) = òx-4dx = x-3/(-3) + C = -1/3x3 + C.
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример 2. Для нахождения воспользуемся тем же интегралом:
Пример 3. Для нахождения надо взять
Пример 4. Чтобы найти , представим подынтегральную функцию в виде и используем табличный интеграл для показательной функции:
Рассмотрим использование выноса за скобку постоянного сомножителя.
Пример 5. Найдем, например . Учитывая, что , получим
Пример 6. Найдем . Поскольку , воспользуемся табличным интегралом Получим
В следующих двух примерах также можно использовать вынос за скобки и табличные интегралы:
Пример 7.
(используем и );
Пример 8.
(используем и ).
Рассмотрим более сложные примеры, в которых используется интеграл суммы.
Пример 9. Например, найдем . Для применения метода разложения в числителе используем формулу куба суммы*, а затем полученный многочлен почленно разделим на знаменатель.
= ò ((8x3/2 + 12x + 6x1/2 + 1)/(x3/2))dx = ò (8 + 12x-1/2 + 6/x + x-3/2)dx = 8ò dx + 12ò x-1/2dx +
+ 6ò dx /x + ò x-3/2dx =
Следует отметить, что в конце решения записана одна общая постоянная С (а не отдельные при интегрировании каждого слагаемого). В дальнейшем также предлагается опускать в процессе решения постоянные от интегрирования отдельных слагаемых до тех пор, пока выражение содержит хотя бы один неопределенный интеграл (будем записывать одну постоянную в конце решения).
Пример 10. Найдем . Для решения этой задачи разложим на множители числитель (после этого удастся сократить знаменатель).
Пример 11. Найдем . Здесь можно использовать тригонометрические тождества.
Иногда, чтобы разложить выражение на слагаемые, приходится применять более сложные приемы.
Пример 12. Найдем . В подынтегральной функции выделим целую часть дроби . Тогда
.
Пример 13. Найдем
Дата добавления: 2015-10-06; просмотров: 877;