Подход к интегрированию рациональных дробей

Рациональная дробь (или рациональная функция) - это отношение двух многочленов. Многочлен n-той степени представляет собой выражение вида a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₂x² + + a₁x + a₀, где a₀, a₁,…, a_n – действительные числа, a_n ¹ 0, n ≥ 0.

Будем рассматривать дроби, в которых степень знаменателя больше нуля (т.к. в противном случае в знаменателе стоит константа, и дробь представляет собой многочлен, интеграл от которого легко найти методом разложения).

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя.

Например, (2x + 7) – многочлен первой степени, (6x⁵ + 3x³ + x) – многочлен пятой степени, - рациональная дробь, которая является правильной (в числителе вторая степень, а в знаменателе – пятая).

Отметим, что если дробь не является правильной, то ее можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби, используя алгоритм деления многочленов "углом". Например, , так как

Тогда интеграл от исходной дроби сведется с помощью метода разложения к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби. Поэтому имеет смысл рассмотреть только подход к интегрированию правильных дробей.

Если степень знаменателя равна единице, то искомый интеграл можно найти на основании теоремы о линейной подстановке и табличного интеграла, так как он имеет вид:

.

Пусть степень знаменателя равна двум, т.е. искомым является интеграл вида , где h, p, a ¹ 0, b и c – вещественные числа.

Рассмотрим вначале случай, когда b = 0, т.е. .

Тогда, если и с = 0, то , т.е. искомый интерграл можно найти методом разложения. Если

Если с ¹ 0, то . Первое слагаемое находят путем замены переменной t = ax² + c. Тогда dt = 2axdx и xdx = dt/2a: . Чтобы найти второе слагаемое, т.е. , рассмотрим два варианта:

1) ас > 0, тогда

2) ас < 0, тогда

Каким образом свести общий случай к случаю ? Для этого достаточно выделить в знаменателе подынтегральной функции полный квадрат, а затем использовать линейную замену переменной.

Рассмотренный прием интегрирования правильных дробей, знаменатель которых имеет вторую степень, основан на использовании методов разложения и подстановки. К сожалению, его недостаток заключается в том, что он не обобщается на случаи, когда степень знаменателя больше двух. В случаях, когда знаменатель правильной дроби – многочлен n–той степени, имеющий n действительных корней, для нахождения интеграла используют метод неопределенных коэффициентов, который здесь подробно не рассматривается. Его можно найти в учебнике Кремера, стр. 272-273. Кроме того, в практикуме Кремера рассмотрен подход к интегрированию в случае, если таких корней может быть менее n (стр. 275).