Знакоположительные числовые ряды

Определение. Числовой ряд называется знакоположительным, если все .

Рассмотрим знакоположительный ряд вида . (1)

Ряд сходится , если и расходится, если .

Примеры сходящихся рядов: , .

Примеры расходящихся рядов: .

Примечание: По отношению к ряду при заключение о его поведении

не изменяется, то есть, он сходится, если и расходится, если .

Рассмотрим ряд вида , (2)

где - многочлен степени m относительно переменного натурального n с действительными коэффициентами ,

- многочлен степени k относительно переменного натурального n c действительными коэффициентами

При этом числа неотрицательные целые числа, не равные одновременно нулю.

Например - многочлен степени 3, - многочлен степени 4.

Утверждение. Если , (3)

то ряд (2) сходится, в противном случае, то есть когда , (4)

то ряд (2) расходится.

Пример. Ряд расходится, так как и выполнено условие (4).

Пример. Ряд сходится, так как и выполнено условие (3).

Пример. Ряд сходится, так как и выполнено условие (3).

Пример. расходится, так как и выполнено условие (4).

Пример. расходится, так как и выполнено условие (4).

Пример. Найти .

Решение.

Признак сравнения. Пусть даны два знакоположитедьных ряда A) В) .

Если , где , то ряды А и В сходятся или расходятся одновременно.

Пример. Указать сходящиеся числовые ряды.

1) 2) 3) 4)

Решение. Для сравнения возьмем ряд . Ясно, что в (1) надо взять , в (2) надо взять , в (3) надо взять , в (4) надо взять . Это делается из следующих соображений: В (1) отбрасывается слагаемое , в (2) отбрасывается -4, в (3) отбрасывается в (4) отбрасывается . После этого остаются ряды ,

, , или после преобразований , , , . Отсюда ряд (1) сходится так как, . Ряд (2) расходится так,как .

Ряд (3) расходится так,как . Ряд (4) сходится так,как .

С использованием признака сравнения заключение о характере сходимости ряда

проводится следующим образом: в многочленах и оставим старшие члены, то есть слагаемые и . В результате получим ряд , где - постоянная. Отсюда при или то же самое , ряд сходится

и при или , ряд расходится.