Элементы операционного исчисления
Определение. Преобразованием Лапласа функции называется интеграл и обозначается . Таким образом,
, где
- действительная переменная, - комплексная переменная. При этом функция называется оригиналом, -изображением.
Условия, которым должен удовлетворять оригинал :
1) при
2) Не иметь знаменатель, который обращается в ноль. Например, функция не может быть оригиналом.
3) С возрастанием модуль функции не может расти быстрее некоторой показательной функции, то есть, , где .
Например, функция не может быть оригиналом, так как при любых числах , данная функция растет быстрее чем функция , то есть нарушается условие (3).
Свойство линейности изображения
Обозначим .Пусть оригиналы и имеют изображения и . Тогда . Таким образом, изображением суммы является .
Пример 1. Найти изображение функции .
Решение. Имеем . Таким образом, изображением функции является так, как изображением 1 согласно таблице является , а изображением является .
Пример 2. Найти изображение функции 3.
Решение. Имеем . Таким образом, изображением функции является .
Пример 3. Какой оригинал соответствует изображению .
Решение. Согласно (4) таблицы изображений имеем при оригинал вида
Пример 4. Найти изображение решения задачи Коши:
Решение. Имеем , где
или . Отсюда находим : ,
. Ответ:
Пример5. Записать в изображениях решение задачи Коши вида
Решение. Имеем
Далее , . Отсюда
Ответ
Таблица изображений
Nпп | Оригинал | Изображение |
-производная | , где -изображение | |
-вторая производная | , где -изображение | |
- третья производная | ||
- -я производная | ||
Дата добавления: 2015-10-13; просмотров: 663;