Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число можно представить в виде упорядоченной пары -радиус- вектор на комплексной плоскости с началом в начале координат и с концом в точке . При этом радиус-вектор или комплексное число характеризуется модулем или длиной вектора = , с углом наклона к оси абсцисс . Будем называть главным значением аргумента или аргументом, если . Обозначается .

При этом положителен, если он отсчитывается от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки, и отрицателен, если наоборот. Ясно, что . Отсюда получаем тригонометрическую форму комплексного числа :

Используя разложение функций и в ряды Тейлора, можно показать, что

(формула Эйлера)

Если заданы и , то аргумент находится следующим образом:

Точка z лежит в первой четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит во второй четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит в третьей четверти комплексной плоскости, . Тогда . Точка z лежит в четвертой четверти комплексной плоскости, . Тогда .

Рассмотрим частные случаи:

Если , точка лежит на оси справа от начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси выше начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси слева от начала координат, тогда . Если , точка лежит на оси ниже начала координат, тогда .

Если, , точка лежит в четвертой четверти, . Если , точка лежит в первой четверти , . Если , точка лежит во второй четверти , . Если , точка лежит в четвертой четверти , . Если , точка лежит в третьей четверти , .