Степенные ряды. степенным рядом. Здесь - коэффициенты ряда (действительные числа), - центр ряда.

Ряд вида называется

степенным рядом. Здесь - коэффициенты ряда (действительные числа), - центр ряда.

Существует положительное число такое , что степенной ряд сходится при всех из интервала и расходится при всех , лежащих вне этого интервала.

Такое называется радиусом сходимости степенного ряда, а интервал - интервалом или областью сходимости.

Радиус сходимости можно найти по формулам

или

Пример. Найти область сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на границе этой области.

Решение. Здесь . Радиус сходимости

. Центр ряда , интервал или область сходимости . На левом конце при получим

числовой ряд который расходится, так как . На правом конце при получим числовой ряд

, который расходится, так как . Таким образом областью сходимости степенного ряда является интервал .