Интегрирование выражений вида R(sin x, cos x)

Сразу заметим, что функция R(sin x, cos x)может содержать и tg x, ctg x, sec x, cosec x,т. к. они рационально выражаются через sin x иcos x.

Интегралы òR(sin x, cos x) dxвсегда вычисляются в конечном виде через элементарные.

Универсальной рационализируещей подстановкойздесь является

– p < x < p.

В самом деле

x = 2 arctg t,Тогда òR(sin x, cos x) dx = –

интеграл от рациональной функции по t.

Особенно употребительна универсальная тригонометрическая подстановка в

интегралах вида

Пример.Полагают ,

x = 2arctg t ,

Тогда

Подстановка является универсальной для интегралов òR(sin x, cos x)dx,но практическое применение её в ряде случаев приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых частных случаях интегрирование проводят с помощью более простых подстановок.

a)Если функция R(sin x, cos x)изменяет знак при изменении знакаsin xна– sin x,то применяют подстановкуt = cos x

Действительно, если R(– sin x, cos x) = – R(sin x, cos x)имеет видR(sin x, cos x) = R₁(sin² x, cos x)sin xи ò R(sin x, cos x) dx = òR₁(sin² x, cos x)sin x dx =

= –òR₁(1 – cos² x, cos x)d cos x = –òR₁(1 – t², t) dt→ интеграл от рациональной функции по t.

b)Совершенно аналогично, если R(sin x, – cos x) = – R(sin x, cos x),то применяется подстановка t = sin x .В этом случае R(sin x, cos x) = R₂(sin x,

cos² x)cos xи òR(sin x, cos x) dx = R₂(sin x, cos² x)cos x dx = òR₂(t, 1 – t²) dt→ интеграл от рациональной функции по t.

Пример.изменяем на противоположный знак при изменении знака sin x. t = cos x

– пришли к интегралу от рациональной дроби.

Интегрируя её и заменяя в конечном результате t = cos x,вычислим исходный интеграл.

c)Если функция R(sin x, cos x)не изменяет знака при одновременной замене знаков и sin xиcos x,то применим подстановку t = tg x(это в частности, когда sin иcosвходят только в чётных степенях)

Действительно, т. к. R(– sin x, – cos x) = R(sin x, cos x),то можно записать