Интегрирование выражений вида R(sin x, cos x)

Сразу заметим, что функция R(sin x, cos x)может содержать и tg x, ctg x, sec x, cosec x,т. к. они рационально выражаются через sin x иcos x.

Интегралы òR(sin x, cos x) dxвсегда вычисляются в конечном виде через элементарные.

Универсальной рационализируещей подстановкойздесь является

– p < x < p.

 

В самом деле

 

x = 2 arctg t,Тогда òR(sin x, cos x) dx = –

интеграл от рациональной функции по t.

Особенно употребительна универсальная тригонометрическая подстановка в

интегралах вида

 

Пример.Полагают ,

x = 2arctg t ,

Тогда

 

 
 

 

Подстановка является универсальной для интегралов òR(sin x, cos x)dx,но практическое применение её в ряде случаев приводит к громоздким вычислениям. Поэтому в некоторых частных случаях интегрирование проводят с помощью более простых подстановок.

 

a)Если функция R(sin x, cos x)изменяет знак при изменении знакаsin xна– sin x,то применяют подстановкуt = cos x

Действительно, если R(– sin x, cos x) = – R(sin x, cos x)имеет видR(sin x, cos x) = R1(sin2 x, cos x)sin xи ò R(sin x, cos x) dx = òR1(sin2 x, cos x)sin x dx =

= –òR1(1 – cos2 x, cos x)d cos x = –òR1(1 – t2, t) dt→ интеграл от рациональной функции по t.

b)Совершенно аналогично, если R(sin x, – cos x) = – R(sin x, cos x),то применяется подстановка t = sin x .В этом случае R(sin x, cos x) = R2 (sin x,

cos2 x)cos xи òR(sin x, cos x) dx = R2(sin x, cos2 x)cos x dx = òR2(t, 1 – t2) dt→ интеграл от рациональной функции по t.

Пример.изменяем на противоположный знак при изменении знака sin x. t = cos x

 

пришли к интегралу от рациональной дроби.

 

 

Интегрируя её и заменяя в конечном результате t = cos x,вычислим исходный интеграл.

c)Если функция R(sin x, cos x)не изменяет знака при одновременной замене знаков и sin xиcos x,то применим подстановку t = tg x(это в частности, когда sin иcosвходят только в чётных степенях)

Действительно, т. к. R(– sin x, – cos x) = R(sin x, cos x),то можно записать

R(sin x, cos x) =НоR1 = Rи поэтому не

 

 

изменяет знака, т. е. А это может быть, если

 

cos xна самом деле входит лишь в чётных степенях, т. е.

 

Но тогда

òR(sin x, cos x) dx =

Применяем t = tg x, x = arctg t,

интеграл от рациональной функции.

 

Пример.Знак не меняется при одновременной замене.

 

t = tg x, x = arctg t,









Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 5645;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.006 сек.