Вычисление интегралов вида

òsin^m x cosⁿ x dx(m и n – целые).

Если хоть одноиз mили nнечётное, то применима подстановка t = cos xили t = sin x.Причём интеграл сводится при этом к степенному интегралу. Основная идея: функции cosи sinберут от нечётной степени и подводят под знак дифференциала, выражая оставшееся через эту функцию.

Пример. òcos² x sin³ x dx = òcos² x sin² x sin x dx = – òcos² x sin² x dcos x =

= –òcos² x (1 – cos² x) dcos x = –ò(cos² x – cos⁴ x) dcos x =

Замечание.Интеграл вида òsin^m x cosⁿ x dxподстановкой t = sin²xили t = cos²xвсегда можно свести и к интегралу от биноминального дифференциала.

4. Интегрирование выражений, содержащих показательную функцию е^x.

Рассмотрим несколько случаев:

а) I = òR(е^x) dx –рационализирующей подстановкой является t = е^x Þ x = ln t,

– интеграл от рациональной функции по t.

b)Интеграл вида I = òе^ax cos bx dxи I = òе^ax sin bx dxберутся по частям способом приведения t к самому себе. I = òе^ax cos bx dx, I = òе^ax sin bx dx

u = cos bx u = sin bx

dd = е^ax dx dd = е^ax dx

c)Интегралы вида òP(x) е^ax sin bx dxи òP(x) е^ax cos bx dxсводятся, очевдно, к интегралам видаòx^m е^ax sin bx dxи òx^m е^ax cos bx dx.Они вычисляются по частям понижением степени x.

u = x^m du = mx^m–1dx

dd = е^ax cos bx dxи т. д.

Доходим до x⁰и вычисляем интеграл как раньше в b).