Вычисление интегралов вида

òsinm x cosn x dx(m и n – целые).

Если хоть одноиз mили nнечётное, то применима подстановка t = cos xили t = sin x.Причём интеграл сводится при этом к степенному интегралу. Основная идея: функции cosи sinберут от нечётной степени и подводят под знак дифференциала, выражая оставшееся через эту функцию.

Пример. òcos2 x sin3 x dx = òcos2 x sin2 x sin x dx = – òcos2 x sin2 x dcos x =

= –òcos2 x (1 – cos2 x) dcos x = –ò(cos2 x – cos4 x) dcos x =

 
 

Если оба m и n чётные,то (как в 1)с)) применима подстановкаt = tg x .Однако, иногда удобно применять понижение степени с помощью формул:

Замечание.Интеграл вида òsinm x cosn x dxподстановкой t = sin2xили t = cos2xвсегда можно свести и к интегралу от биноминального дифференциала.

 

4. Интегрирование выражений, содержащих показательную функцию еx.

Рассмотрим несколько случаев:

а) I = òR(еx) dx –рационализирующей подстановкой является t = еx Þ x = ln t,

– интеграл от рациональной функции по t.

 

b)Интеграл вида I = òеax cos bx dxи I = òеax sin bx dxберутся по частям способом приведения t к самому себе. I = òеax cos bx dx, I = òеax sin bx dx

u = cos bx u = sin bx

dd = еax dx dd = еax dx

c)Интегралы вида òP(x) еax sin bx dxи òP(x) еax cos bx dxсводятся, очевдно, к интегралам видаòxm еax sin bx dxи òxm еax cos bx dx.Они вычисляются по частям понижением степени x.

u = xm du = mxm–1dx

dd = еax cos bx dxи т. д.

Доходим до x0и вычисляем интеграл как раньше в b).








Дата добавления: 2015-10-05; просмотров: 940;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.003 сек.