Примеры. 1)

Применим метод Острограденного, т. к. Q(x) содержит множитель (x² + 1)².

Q(x) = (x + 1)(x² + 1)² /m = 5/

Q₁(x) = (x + 1)(x² + 1) /m₁ = 3/тогда P₁(x) = cx² + dx + k

Q₂(x) = x² + 1 /m₂ = 2/ P₂(x) = ax + b

Запишем (7):

Данная и полученная дроби тождественно равны и имеют одинаковые знаменатели, поэтому их числители должны быть тоже тождественно равны. Но тогда коэффициенты при соответствующих степенях тоже равны:

получаем: a = ¼, b = – ¼, c = 0, d = ¼, k = – ¼.

Тогда по (6)имеем

I₁вычисляем как раньше:

отсюда Ax² + A + Mx² + Nx + Mx + N ≡ x – 1и

A = – 1, M = 1, N = 0

2) Вычислить

Ответ:

§6 Интегрирование некоторых иррациональных функций.

Функция f(x) называется иррациональной, если она получена с помощью четырёх рациональных операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и возведения в рациональную степень (не целую) переменной интегрирования или некоторого рационального выражения от этой переменной.

Далеко не всегда можно выразить интеграл от иррациональной функции с помощью элементарных функций (интеграл “не берётся” в конечном виде).

Мы рассмотрим некоторые наиболее употребительные иррациональные выражения, неопределённые интегралы от которых могут быть выражены через элементарные функции.

1) Интегрирование выражений R(x,x^m/n,…,x^r/s), где m/n,...,r/s рациональные дроби. Здесь символ R(x,x^m/n,…,x^r/s) означает, что над x,x^m/n,…,x^r/s производятся только рациональные действия (четыре перечисленных выше и возведение в натуральную степень). /“R”=”рациональное выражение от...”/. Пусть k– наименьший общий знаменатель дробей m/n,...,r/s. Осуществим замену X = t^k , тогдаdx = kt^k-1dt.

Каждая дробная степень Xтогда выразится через натуральную степень t и потому

подинтегральное выражение станет рациональной функцией от t. В этой связи замену X = t^k называют рационализирующей подстановкой.

Пример. Вычислить неопределённый интеграл

Решение.Т. к. то наименьший общий знаменатель дробей 1/3и 1/6

будет 6.Потому берём x = t⁶ ,откуда dx = 6t⁵dtи . Тогда