Интегрирование биноминальных дифференциалов.

Биноминальным дифференциалом называется выражение вида x^m(a + bxⁿ)^pdx,где a, b –дествительные числа;m, n, p – рациональные.

В 1853 году П. Л. Чебышевым (знаменитым русским математиком) была установлена теорема о том, что интеграл вида x^m(a + bxⁿ)^pdxберётся в конечном виде лишь в следующих трёх случаях: a) когда p –целое число,

б) когда – целое число,

с) когда – целое число.

Во всех остальных случаях этот интеграл в конечном виде не берётся. Доказательство теоремы сложное, использует сложный аналитический аппарат, поэтому его не приводим. Покажем только, как же вычислить интеграл в тех трёх случаях, когда он берётся в конечном виде.

а) p– целое число (положительное, отрицательное или 0).

Обозначим через λ –общий знаменаталь чиселmиn.Тогда подинтегральное выражение x^m(a + bxⁿ)^p = R(^λ√x)и потому рационализирующей подстановкой будет

Тогда x = t ^λ, dx = λt ^{λ –1}dt. òx^m(a + bxⁿ)^pdx = òt ^λm(a + bx^λn) λt ^{λ –1}dt.

Пример.– интеграл от

рациональной функции по t. (m = – 2, n = 1/3, p = – 2 –целое, λ = 3)

t = ³√x, x = t³, dx = 3t²dt, x ^-2 = t ^-6, 2 + x^1/3 = 2 + t. /закончить самостоятельно/.

б) –целое (p –дробное: p = r/s).Рационализирующей подстановкой

является в этом случае .

Тогда a + bxⁿ = t^s,

Получим x^m(a + bxⁿ)^pdx =

т. к. – целое число, то –1 –тоже целое. Пришли к случаю а),а

потому выражение действительно рационализируется.