Решение. Пример 8.Найти частную производную и полную производную , если , где .

.

Пример 8.Найти частную производную и полную производную , если , где .

2. Случай нескольких независимых переменных.Если сложная функция нескольких независимых переменных, например , где ; ( и – независимые переменные; , и – дифференцируемые функции), то частные производные по и выражаются так:

; .

Во всех рассмотренных случаях справедлива формула

(свойство инвариантности первого дифференциала).

Пример 9.Найти , если , где , , .

Пример 10.Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Решение.Обозначим . Тогда

, .

Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь

Пример 11.Найти и , если , где , .