Решение. 1. Определяем координаты центра тяжести поперечного сечения.

1. Определяем координаты центра тяжести поперечного сечения.

Размеры и геометрические характеристики уголка и швеллера устанавливаем по сортаментам. Вычерчиваем сечение в масштабе (см. рис. 1). Выбираем оси сравненияx и y, располагая их по контуру швеллера. Именно в этих осях мы и будем определять положение центра тяжести всего сечения. Для каждого элемента сечения (уголка, швеллера и полосы) проводим собственные центральные оси (), параллельные выбранным осям сравнения x и y.

Координаты центра тяжести всего поперечного сечения (точка С), состоящего из трех элементов (уголка – 1, швеллера – 2 и полосы – 3), вычисляются по формулам:

где и – статические моменты соответствующего элемента относительно осей сравнения; – площадь элемента; и – координаты центра тяжести элемента в осях сравнения. Вычисления производим в табличной форме (таблица 1).

Таблица 1. Определение координат центра тяжести поперечного сечения

Номер элемента	Наименование элемента	Площадь элемента , см²	Координаты центра тяжести элемента	Статические моменты элемента относительно осей сравнения и
, см	, см	, см³	, см³
	Уголок	10,67	-2,02	17,02	-21,55	181,60
	Швеллер	26,70	2,21	11,00	59,01	293,70
	Полоса	36,00	9,00	-1,00	324,00	-36,00
	ВСЕ СЕЧЕНИЕ	73,37			361,46	439,30

Координаты центра тяжести поперечного сечения (точка С) в осях сравнения x, y:

см; см.

По найденным значениям и отмечаем на чертеже центр тяжести всего сечения точку С (см. рисунок 1) и проводим центральные оси и .

Заметим, что центр тяжести всей фигуры должен располагаться внутри треугольника, вершинами которого являются центры тяжести элементов поперечного сечения.

2. Вычисляем моменты инерции всего поперечного сечения относительно центральных осей и .

Осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно центральных осей определяются по следующим формулам:

Значения осевых моментов инерции уголка и швеллера относительно собственных центральных осей и определяем по сортаменту. Для полосы осевые моменты инерции соответственно равны:

см⁴; см⁴.

Центробежные моменты инерции швеллера и полосы равны нулю, поскольку их собственные центральные оси являются осями симметрии.

Центробежный момент инерции уголка относительно собственных центральных осей и вычисляется по формуле

где и – максимальный и минимальный главные моменты инерции уголка соответственно. По сортаменту (см. прил. 1) находим, что см⁴, а см⁴.

Центробежный момент инерции уголка не равен нулю, поскольку оси и не являются для него главными центральными осями инерции (главные центральные оси для равнобокого уголка повернуты относительно осей и на угол 45⁰).

Знак центробежного момента инерции уголка (как, впрочем, и для любой другой фигуры) зависит от направления координатных осей. Он легко определяется следующим образом. Согласно определению, центробежный момент инерции фигуры равен интегралу, в котором элементарная площадка умножается на произведение расстояний от этой площадки до координатных осей. Мысленно разделим уголок на три площади, расположенные, в нашем случае, в первом, третьем и четвертом квадрантах. Эти площади, в свою очередь, разобьем на элементарные площадки. Видно, что для элементарных площадок, расположенных в первом и третьем квадрантах, расстояния от элементарных площадок до координатных осей имеют одинаковый знак. Поэтому при интегрировании по площади, расположенной в этих квадрантах, мы получим знак «плюс». В четвертом квадранте расстояния от площадок до координатных осей имеют разные знаки, что при интегрировании даст знак «минус». Очевидно, что, суммируя полученные результаты, мы, в итоге, получим положительное значение центробежного момента инерции уголка. Следовательно,

см⁴.

Теперь определяем координаты центров тяжести отдельных элементов C_i в центральных осях и :

для уголка

см;

для швеллера

см;

для полосы

см;

см.

Дальнейшие вычисления моментов инерции всего поперечного сечения относительно центральных осей и производим в табличной форме (таблица 2).

Таблица 2. Определение моментов инерции сечения относительно центральных осей и

Номер элемента	Наименование элемента	Площадь элемента , см²	Моменты инерции относительно собственных центральных осей и	Координаты центра тяжести в осях и
, см⁴	, см⁴	, см⁴	, см	, см
	Уголок	10,67	48,16	48,16	28,19	-6,95	11,03
	Швеллер	26,70	2110,00	151,00		-2,72	5,01
	Полоса	36,00	12,00	972,00		4,07	-6,99
	ВСЕ СЕЧЕНИЕ	73,37

Продолжение таблицы 2

Наименование элемента	"Переносные" моменты инерции, см⁴	Моменты инерции относительно центральных осей и , см⁴

Уголок	515,39	1298,12	-817,95	1346,28	563,55	-789,76
Швеллер	197,54	670,17	-363,85	2780,17	348,54	-363,85
Полоса	596,34	1758,96	-1024,17	1770,96	1568,34	-1024,17
ВСЕ СЕЧЕНИЕ				5897,41	2480,43	-2177,78

После округления вычисленных значений моментов инерции до трех значащих цифр, окончательно, получим

см⁴; см⁴; см⁴.

3. Определяем положение главных центральных осей инерции u и v.

Угол наклона главных центральных осей u и v к центральным осям и соответственно определяем из следующей формулы:

Отсюда находим, что и .

Откладываем положительное значение угла от оси против хода часовой стрелки и проводим главные центральные оси u и v (см. рисунок 1).

Ось, относительно которой момент инерции максимален, составляет меньший угол с той из центральных осей или , относительно которой осевой момент больше. Поскольку см⁴ больше, чем см⁴, ось u является осьюотносительно которой момент инерции сечения максимален, то есть ось u – ось max. Соответственно, ось v является осью min.