Решение. 1. Геометрические характеристики швеллера относительно его собственных центральных осей (рис

1. Геометрические характеристики швеллера относительно его собственных центральных осей (рис. б) согласно ГОСТ 8240-72 следующие:

площадь A₁ = 23,4 см²,

высота сечения h₁ = 20 см,

моменты инерции , ,

абсцисса центра тяжести швеллера .

(ГОСТ прокатных профилей есть в приложениях всех литературных источников, приведённых в списке литературы).

Здесь и далее индекс в нижнем правом углу означает номер простой составляющей сечения. Например, швеллер, согласно принятой в задаче нумерации, имеет номер 1.

Геометрические характеристики прямоугольника относительно его собственных центральных осей (рис. в) следующие:

- площадь ,

- моменты инерции относительно собственных центральных осей

, .

2. Построение сечения в масштабе (см. рисунок 1, а).

3. Определение координаты центра тяжести сечения.

- Строим вспомогательную систему координат. В качестве вспомогательной системы координат выбираем центральные оси швеллера и .

- Определяем координаты центра тяжести сечения относительно вспомогательной системы координат. Для рассматриваемого сечения необходимо вычислить только одну координату , так как другая координата известна. Поскольку центр тяжести всего сечения должен лежать на прямой, соединяющей центры тяжести простых составляющих (это правило действительно для сечений, состоящих их двух частей), то в нашем случае центр тяжести лежит на оси (см. рисунок 1, а), а значит координата .

Координата центра тяжести (к. ц. т.) сечения определяется по формуле:

где А – площадь всего сечения; - статический момент всего сечения относительно оси . Для рассматриваемого примера статический момент сечения следует обозначить, как , так как определяется относительно оси .

Рассматриваемое сечение сложное. Для определения статического момента сложного сечения существует формула:

где n – число простых составляющих сложного сечения; - статический момент i –й составляющей сложного сечения; , - координата центра тяжести и площадь i –й составляющей сложного сечения. Применительно к нашей задаче формула примет следующий вид:

Так как координата y в прямоугольной системе координат представляет собой кратчайшее расстояние (перпендикуляр) от центра тяжести соответствующей фигуры до оси X, то:

, ;

и определены в пункте I. Подставим в формулу полученные значения:

Площадь сложного сечения . Тогда для рассматриваемого случая:

Следовательно, .

Для случая, когда неизвестной является координата , задача решается аналогично с учётом соответствующих изменений.

- Показываем на чертеже центральные оси всего сечения X_C и Y_C. Причём эти оси строим параллельно вспомогательным осям, как показано на рис. а.

4. Проводим проверку правильности определения центра тяжести сечения.

В основе проверки лежит положение о том, что статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю. Значит, в нашем случае следует вычислить статические моменты сечения относительно полученных центральных осей X_C и Y_C, при этом координаты ц. т. простых составляющих относительно этих осей:

, ;

Статические моменты сечения относительно осей X_C и Y_C:

Иными словами, координаты ц. т. всего сечения вычислены правильно.

5. Определяем главные центральные моменты инерции сечения.

- Вычисляем центробежный момент инерции всего сечения.

Ось - центральная ось всего сечения и , - центральные оси простых составляющих – совпадают. Оси и - главные оси швеллера, значит центробежный момент инерции швеллера относительно них . Оси и - главные оси прямоугольника (так как оси и - оси симметрии прямоугольника), то есть . В этом случае центробежный момент инерции всего сечения в соответствии с формулой изменения центробежных моментов инерции при параллельном переносе осей (см. теорию):

- Находим главные оси всего сечения.

Так как центробежный момент инерции сечения относительно главных осей равен нулю, то в нашем случае оси X_C и Y_C - главные оси инерции всего сечения.

- Вычисляем главные центральные моменты инерции всего сечения.

Поскольку главными центральными моментами инерции являются моменты инерции относительно главных центральных осей, то вычисления моментов инерции будем производить относительно осей X_C и Y_C.

Воспользовавшись формулой определения осевых моментов инерции сложного сечения и формулой перехода между параллельными осями для осевых моментов инерции (см. теорию), получим