Решение. 1. Выписываем из таблиц сортамента прокатных профилей необходимые для расчета данные:

1. Выписываем из таблиц сортамента прокатных профилей необходимые для расчета данные:

- Двутавр №10 (ГОСТ 8239-56);

A₁ =12 см²; b=5,5 см; h=10 см; I_x= 198 см⁴; I_y1= 17,9 см⁴.

- Уголок равнобокий 50х50х5 (ГОСТ 8509-57);

A= 4,8 см²; b = 5 см; z₀= 1,42 см; I_x= 11,2 см⁴ ; I_x0= 17,8 см⁴ ; I_y0= 4,63 см⁴

2. Вычерчиваем в масштабе сечение. Для определения положения центра тяжести составного сечения обозначим двутавр – I и равнобокий уголок – II и проведем собственные центральные оси X₁, Y₁ и X₂, Y₂. Проводим вспомогательные оси X, Y. Тогда координаты центра тяжести сечений I и II относительно осей X, Y:

см;

см;

см;

см.

Координаты центра тяжести всего сечения:

где А₁ =12 см²; А₂ =4,8 см² – площади поперечных сечений.

Наносим эти размеры на чертеж и через полученный центр тяжести С проводим центральные оси X_c и Y_c. Проверяем правильность вычислений: центр тяжести составного сечения должен лежать на линии, соединяющей центры тяжести первого и второго сечений.

3. Вычисляем центральные осевые и центробежный моменты инерции составного сечения. Воспользуемся формулами для определения моментов инерции при параллельном переносе осей:

; ;

; ; (1)

; .

где m₁, m₂ – расстояние между параллельными осями X₁ и Х_С, X₂ и Х_С соответственно;

n₁, n₂ – расстояние между параллельными осями Y₁ и Y_c, Y₂ и Y_c соответственно.

На основании данных чертежа получим:

= 2,75 – 2,37 = 0,38 см;

= –(2,27 – 1,42) = –0,95 см;

= –(6,83 – 5) = –1,83 см;

= 11,42 – 6,83 = 4,59 см.

Вычисляем центральные осевые моменты инерции всего сечения, равные сумме моментов инерции фигур, составляющих это сечение, с учетом формулы (1):

= (17,9 +0,38²×12) +(11,2 + (– 0,95)²×4,8) = 19,63 + 15,53 = 352 см⁴; (2)

= (198 + (– 1,83)²×12) +(11,2 + 4,59²×4,8) = 238,2 + 111,9 = 350,1 см⁴. (3)

Центробежный момент инерции составного сечения вычисляем с учетом формул (1) аналогично:

=

= (0 + 0,38×(–1,83)×12) + (– 6,58 + (– 0,95)×4,59×4,8) = (– 8,34) + (– 27,5) = – 35,8 см⁴. (4)

В этой формуле для двутавра, являющегося симметричным сечением относительно собственных центральных осей, центробежный момент инерции = 0, т.к. эти оси - главные центральные оси двутавра. Для равнобокого уголка ( = 45º):

;

Рис.2

Знак I_xy при различных положениях равнобоких и неравнобоких уголков выбирается согласно рисунок 2. В нашем случае берется знак минус.

4. Определим направление главных центральных осей на основании вычислений по формулам (2), (3) и (4):

= –12º48’; = –6º24’.

Угол < 0, поэтому угол = –6º24’ отложим от оси Х_С в направлении часовой стрелки и проведем главную ось U, а ей перпендикулярно – главную ось V (рис. 2).

5. Вычислим значения главных центральных моментов инерции

I_max = 354 см⁴ = 354·10^-8 м⁴;

I_min = 31,2 см⁴ = 31,2·10^-8 м⁴.

Положение оси U(I_min) легко определить, т.к. эта ось, во-первых, пересекает сечение по наибольшему протяжению и, во-вторых, располагается ближе к той центральной оси инерции (оси Х_С), относительно которой центральный момент инерции имеет меньшую величину, т.е. (I_xc<I_yc).

Таким образом I_V = I_min = 31,2·10^-8 м⁴,

I_U = I_max = 354 см⁴ = 354·10^-8 м⁴.

Проверка: ;

см⁴;

см⁴.

Т.к. оси V и U главные, то должно выполняться условие равенства нулю центробежного момента инерции, вычисленного относительно главных осей V и U, т.е. = 0. Тогда при = –6º25’ получим:

где ,

.