Доказательство. Пусть и - положительные последовательности рациональных чисел, что влечет

Пусть и - положительные последовательности рациональных чисел, что влечет

.

Пусть . Тогда . Последовательно складывая и умножая последние неравенства, получим . Поскольку , а - произвольное, большее число, последовательности и положительны.

что и требовалось доказать

Теорема 4. Если фундаментальные последовательности и не являются положительными, тогда фундаментальная последовательность будет нулевой.

Доказательство.

По условию и не являются положительными, следовательно, . Учитывая фундаментальность последовательностей и , можно выбрать настолько большим, чтобы выполнялись неравенства:

Тогда

Выбрав , получим для сколь угодно малого , а это возможно лишь в одном случае, если является нулевой последовательностью рациональных чисел.

что и требовалось доказать

Следствие.Если - ф.п.р.ч., тогда либо положительна, либо положительна, либо - нулевая.