Операции над последовательностями рациональных чисел.
Определение. Суммой последовательностей и называется последовательность, полученная в результате сложения соответствующих членов этих последовательностей, т.е. .
Определение. Произведением последовательностей и называется последовательность, полученная в результате умножения соответствующих членов этих последовательностей, т.е. .
Замечание. Разностью последовательностей и является сумма последовательностей и .
Теорема 2.Сумма, произведение и разность сходящихся последовательностей рациональных чисел является сходящейся последовательностью.
Доказательство.
Поскольку предел суммы, произведения, разности сходящихся последовательностей равен соответственно сумме, произведению, разности пределов этих последовательностей, теорему можно считать доказанной.
что и требовалось доказать.
Свойство 4 ф.п.р.ч. Сумма, произведение и разность фундаментальных последовательностей рациональных чисел является фундаментальной последовательностью.
Доказательство.
Докажем теорему сначала для фундаментальных последовательностей.
Пусть и - фундаментальные последовательности рациональных чисел. Тогда . Полагая , получим , . Оценим :
.
Последнее неравенство справедливо в силу свойства 3 ф.п.р.ч. оо ограниченности любой ф.п.р.ч.. Следовательно, последовательность является фундаментальной.
Аналогично устанавливается фундаментальность последовательности .
Последовательность фундаментальна, поскольку и всякая постоянная последовательность рациональных чисел фундаментальна . .
что и требовалось доказать
Определение. Частным двух последовательностей и при условии, что среди членов последовательности отсутствуют числа, равные нулю, называется последовательность .
Свойство 5 ф.п.р.ч. Частным фундаментальных последовательностей и рациональных чисел при условии, что среди членов последовательности отсутствуют числа, равные нулю, и не сходится к нулю, является фундаментальной последовательностью рациональных чисел.
Доказательство.
Поскольку не сходится к нулю, то найдется положительное рациональное число и натуральное такие, что . Поскольку последовательности и фундаментальны, имеем:
- ограниченная, следовательно, ;
.
Выберем . Тогда
что и требовалось доказать
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 892;