Аксиоматическая теория натуральных чисел. Сложение и умножение натуральных чисел. Роль аксиомы индукции в арифметике

Высшая арифметика исследует общие предложения о натуральных числах 1, 2, 3, ... обычной арифметики. Высшая арифметика — дедуктивная наука, основанная на законах арифметики. Примерами таких предложений могут служить фундаментальная теорема о том, что каждое натураль­ное число разлагается на простые множители и это разложе­ние единственно, и теорема Лагранжа о том, что любое натуральное число представимо в виде суммы не более четы­рех точных квадратов.

Сложение. Любые два натуральных числа а и b имеют сумму, обозначаемую а+b, которая сама является натуральным числом.

Операция сложения удовлетворяет двум законам:

а + b = b + а (коммутативный закон сложения),

а + (b + с) = (а + b) + с (ассоциативный закон сложения),

скобки в последней формуле указывают порядок выполнения операций.

Умножение. Любые два натуральных числа а и b имеют про­изведение, обозначаемое а • b или ab, которое само является на­туральным числом.

Операция умножения удовлетворяет двум законам:

ab = bа (коммутативный закон умножения),

а(bс) = (аb)с (ассоциативный закон умножения).

Имеется также закон, связывающий сложение и умножение:

а(b + с) = ab + ас (дистрибутивный закон).

Простые числа. Очевидно, что каждое натуральное чис­ло а делится на 1 (отношение равно а) и на а (отношение равно 1). Множитель а, отличный от 1 или а, называется собственным множителем. Известно, что существуют числа, не имеющие соб­ственных множителей; они называются простыми числами. Первые несколько простых таковы:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…

Число, не являющееся простым и не равное 1, называется со­ставным, такое число можно представить в виде произведения двух чисел, каждое из которых больше 1. Хорошо известно, что любое составное число можно представить в виде произведения простых; при этом, конечно, некоторые простые могут встре­титься по нескольку раз. Возьмем, например, число 666; ясно, что оно делится на 2, и мы получаем 666 = 2 • 333. Далее, 333 имеет очевидный множитель 3, откуда 333 = 3• 111. Множитель 111 снова делится на 3, так что 111 = 3 • 37. Следовательно,666 = 2 • 3 • 3 • 37,и мы получили представление составного числа 666 в виде про­изведения простых. Имеется общая теорема (основная теорема арифметики) о том, что каждое число представимо в виде произведения простых, или, что то же самое, любое число, большее 1, является простым либо разла­гается в произведение простых.

1. Аксиоматическая теория целых чисел. Свойства целых чисел. Построение модели