II. Аксиомы порядка

1. Для любых либо , либо .

2. Если , то x=y.

3. Если , то .

4.Если х≤у, то для любого z выполняется х + z ≤ у + z

5.Если х≤у, то для любого z > 0 выполняется х ∙ z ≤ у ∙ z,

а для любого z < 0 выполняется х ∙ z ≥ у ∙ z.

III. Аксиома непрерывности.Пусть X и Y два непустых множества действительных чисел. Если выполняется неравенство , то , такое, что .

Все остальные свойства можно получить из этих аксиом.

Такой подход к определению множества действительных чисел называется аксиоматическим, действительные числа – это множество, элементы которого удовлетворяют аксиомам групп I–III.

Между множеством действительных чисел и точками любой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие.

Рассмотрим любую прямую и отметим на ней произвольно точку 0 – начало отсчёта. Точка 0 разбивает данную прямую на два луча. Один из них назовём положительным и обозначим стрелкой, а другой отрицательным. От точки 0 отложим на положительном луче произвольный отрезок и назовём его единичным (его длину примем за единицу измерения длин). Из СШ известно, что прямая, с выбранным на ней началом отсчёта 0, положительным направлением и единичным отрезком, называется координатной прямой.

Возьмем произвольное действительное число х. Возможны случаи:

1) x>0. Отложим на положительном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины x. Правый конец полученного отрезка – соответствующая x точка.

2) x<0. Отложим на отрицательном луче координатной прямой от точки 0 отрезок длины (– x). Левый конец полученного отрезка – соответствующая x точка.

3) x=0, соответствующая ему точка – точка 0.

Возьмем произвольную точку х на координатной прямой. Возможны случаи:

1) точка x попала на положительный луч координатной прямой. Тогда ей соответствует число x>0, равное расстоянию от точки 0 до точки x.

2) точка x попала на отрицательный луч координатной прямой. Тогда ей соответствует число x<0, равное расстоянию от точки 0 до точки x, взятому со знаком минус

3) точка x попала в начало атсчета координатной прямой. Тогда ей соответствует число x=0.

Таким образом, установили взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и точками координатной прямой. Поэтому в математике принято множество R (действительных чисел) называть числовой прямой, а его элементы, т.е. действительные числа, точками числовой прямой. Часто для наглядности вместо действительного числа х рассматривают ту точку на координатной прямой, которая соответствует этому действительному числу. Эту точку называют геометрическим изображением числа х и обозначают так же через х.