Показательная функция и ее свойства. Показательная функция в комплексной области

Функция вида y = a^x, где a больше нуля и а не равно единице называется показательной функцией.

Основные свойства показательной функции:

1. Областью определения показательной функции будет являться множество вещественных чисел.

2. Область значений показательной функции будет являться множество всех положительных вещественных чисел. Иногда это множество для краткости записи обозначают как R+.

3. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0<a

4. Справедливы будет все основные свойства степеней. Основные свойства степеней представлены следующим равенствами:

а⁰=1 – любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице;

а¹=а – любое число в первой степени равно самому себе;

a^x*a^y = a^{(x + y)} – при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают;

(a^x)/(a^y) = a^(x-y) – при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя;

(a*b)^x = (a^x)*(a^y) – при возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей;

(a/b)^x = a^x/b^x – при возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби

(a^x)^y = a^{(x * y)} – при возведении с тепени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

Данные равенства будут справедливы для все действительных значений х и у.

5. График показательной функции всегда проходит через точку с координатами (0;1)

6. В зависимости от того возрастает или убывает показательная функция, её график будет иметь один из двух видов.

График возрастающей показательной функции: a>0.

График убывающей показательной функции: 0<a<1.

И график возрастающей показательной функции и график убывающей показательной функции согласно свойству, описанному в пятом пункте, проходят через точку (0;1).

7. Показательная функция не имеет точек экстремума, то есть другими словами, она не имеет точек минимума и максимума функции. Если рассматривать функцию на каком-либо конкретном отрезке, то минимальное и максимальное значения функция будет принимать на концах этого промежутка.

8. Функция не является четной или нечетной. Показательная функция это функция общего вида. Это видно и из графиков, ни один из них не симметричен ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой e^iφ=cosφ+isinφ, которая носит название формулы Эйлера.

Пусть комплексное число z в тригонометрической форме имеет вид z=τ(cosφ+isinφ). На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим z=τe^iφ.

Эта запись называется показательной формой комплексного числа.