Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница

Рассмотрим функцию y=f(x), интегрируемую на отрезке [a,b]. Если x€[a,b], то функцияf(x) интегрируема также на любом отрезке [a,x]. Предположим, что x меняется на отрезке[a,b], тогда на этом отрезке определена функция
(переменную интегрирования обозначим буквой t, переменный верхний предел – буквой x).

Теорема. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то функция непрерывна на этом отрезке.

Теорема. Если подынтегральная функция непрерывна, то производная определенного интеграла с переменным верхним пределом существует и равна значению подынтегральной функции для этого предела, т. е..
Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то
Следствие 2. Определенный интеграл с переменным верхним пределом является одной из первообразных для непрерывной подынтегральной функции. Другими словами, для любой непрерывной функции существует первообразная.

Замечание. Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования используется при определении многих функций. К таким функциям относятся, например:

Эти функции не являются элементарными; первообразные указанных подынтегральных функций не выражаются через элементарные функции.

Связь между определенными и неопределенными интегралами выражает следующая теорема Ньютона - Лейбница, называемая основной теоремой интегрального исчисления.

Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной для верхнего и нижнего предела интегрирования:

- эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница; ее можно переписать в виде: