Понятие о спрямляемой кривой и ее длине. Вычисление длины кривой с помощью определенного интеграла

Пусть кривая L на координатной плоскости Oxy задана параметрически уравнениями: x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤β. L называется простой (плоской) незамкнутой кривой, если функции φ(t), ψ(t) непрерывны на [α, β] и различным значениям параметра t из сегмента [α, β] соответствуют различные точки М (φ(t), ψ(t)). Если точка А (φ(α), ψ(α)) совпадает с точкой В (φ(β), ψ(β)), а остальные точки не являются кратными, то L называется простой замкнутой кривой. Простая кривая L называется спрямляемой, если существует предел длин ломанных, вписанных в кривую, при ∆t→0 (этот предел называется длиной кривой L).

Пусть L – простая, спрямляемая (замкнутая или незамкнутая) кривая, заданная уравнениями x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤β, и пусть на кривой L определена функция f(x,y). Разобьем сегмент [α, β] на n-частей точками α=t₀<t₁<…<t_n=β. При этом кривая L разобьется на n-частей точками М₀, М₁,…,М_n. Обозначим через ∆l_k длину дуги M_k-1M_k, выберем на каждой дуге M_k-1M_k некоторую точку N_k(ξ_kη_k) и составим интегральную сумму:

Пусть . Число I называется пределом интегральных суммпри ∆l→0, если такое, что для любого разбиения кривой L, у которого ∆l<δ, и для любого выбора промежуточных точек N_k выполняется неравенство: .

Если существует , то число I называется криволинейным интегралом первого родаот функции f(x,y) по кривой L и обозначается: . Если кривая L – незамкнутая и точки A и B – ее концы, то криволинейный интеграл первого рода обозначается следующими образом: . Из определения следует, что криволинейный интеграл первого рода не зависит от того, в каком направлении (от А к В или от В к А) пробегается кривая L, т.е. . Если f(x,y)=1, то равен длине l кривой АВ: .

Вычисление криволинейного интеграла первого рода с помощью определенного интеграла. Простая кривая L, заданная уравнениями x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤β, называется гладкой, если функции φ(t), ψ(t) имеют непрерывные производные, одновременно не обращающиеся в нуль на [α, β] (за исключением конечного числа точек). Функция f(M)=f(x,y), определенная на кривой L называется непрерывной вдоль кривой L, если . Если это условие выполнено в каждой точке кривой, за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрывы первого рода, то функция f(M) называется кусочно непрерывной вдоль кривой L.

Теорема: если L – кусочно гладкая кривая, заданная уравнениями x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤β, и функция f(x,y) кусочно непрерывная вдоль кривой L, то существует криволинейный интеграл и справедливо равенство:

Замечание: предположим, что f(x,y) непрерывна вдоль кривой L. Тогда имеют место следующие утверждения:

1.Если кривая L задана уравнением y=y(x), a≤x≤b и y(x) имеет непрерывную производную на [a,b], то существует интеграл и справедливо равенство:

2. Если кривая L задана в полярных координатах уравнением γ=γ(φ),φ₁≤φ≤φ₂, и γ(φ) имеет непрерывную производную на [φ₁,φ₂] , то существует интеграл и имеет место равенство

3. Для гладкой пространственной кривой, заданной параметрически уравнениями x=φ(t), y=ψ(t), α≤t≤β справедлива формула: