Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Решение уравнений с разделяющими переменными и линейных дифференциальных уравнений

Если от нескольких: уравнение в частных производных.

Порядком наз. наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

- производная 1-го порядка.

Решениемдифференциального уравнения наз. всякая функция, которая будучи подставленная в уравнение обращает его в тождество.

Пример 1. -sinx+sinx=0

y=sinx – решение уравнения.

y=-sinx

Пример 2. y=5cosx

-5cosx+5cosx=0

y=sinx+5cosx – решение.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Общее и частное решение. Теорема существования и единственности решения

- уравнение относительно одной производной

Теорема существования единственности решения: если в уравнении функция f(x,y) и её частная производная по y непрерывны в некоторой области d, содержащей точку M₀(x₀,y₀) принадлежащей D, то существует единственное решение этого уравнения y=φ(x), которое удовлетворяет условию: при x=x₀ y=y₀.

График решения уравнения называется интегральной кривой.

Условие y– начальное условие.

образует задачу Коши

Общим решениемдифференциального уравнения 1 порядка называется всякая функция вида y=φ(x,c), зависящая от 1 произвольной постоянной С и удовлетворяющая условиям:

а) эта функция удовлетворяет условию при любых значениях const C;

б) каково бы ни было начальное условие y, можно найти такое значение const С=С₀, что функция y=φ(x,С₀), будет удовлетворять начальному условию.

Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция y=φ(x,c₀), которая получается из общего решения, если вместо произвольной константы подставить конкретное значение.

ϕ(x,y,c)=0 - общее решение

ϕ(x,y,c₀)=0 - частное решение

Решить дифференциальное уравнение, значит найти его общее решение, если не задано начальное условие; если задано условие – найти частное решение, которое удовлетворяет начальному условию.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

F₂(y) ≠0

≠0.

Пример:

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция f(x,y) называется однороднойn-ого измерения относительно x и y, если

Пример:

Дифференциальное уравнение называется однородным уравнением первого порядка, если функция f(x,y) является однородной функцией нулевого измерения, т.е. .

Пример:

функция нулевого измерения

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение вида y'+ρ(x)y=q(x), где ρ(x) и q(x) заданные функции от x, непрерывные в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.