Смешанное и векторное произведение векторов. Их свойства. Объем параллелепипеда и тетраэдра

Пусть векторы a,b неколлинеарные векторы (линейно-независимые) ориентированного пространства.

Векторным произведением вектора a на b (в указанном порядке) называется вектор c такой, что:

1)|c|=|a|*|b|*sin(a^b) (sin угла между ними)

2) ; (перпендикулярны)

3)a,b,c – правая тройка векторов

Обозначают векторное произведение: a*b или [a,b]

Замечание: по определению, векторное произведение коллинеарных векторов считается = 0-вектору ( )

Теорема: Пусть {i,j,k} правый ортонормированный базис и имеют координаты: a(a₁,a₂,a₃), b(b₁,b₂,b₃). Тогда их произведение [a,b](| | ,| ,| |)

Свойства векторного произведения векторов:

1)[a,b]=-[b,a]

2)[αa,b]=α[a,b], α-число

[a,βb]=β[a,b]

3)[a+b,c]=[a,b]+[b,c]

[a,b+c]=[a,b]+[a,c]

4)[a,[b,c]]=b(ac)-c(ab), (ab-скалярное произведение векторов)

Докажем 4 свойство. Выберем в пространстве правый ортонормированный базис {i,j,k}, который выберем следующим образом: i=1/|b|*b

j выберем так, чтобы он был перпендикулярен вектору i и имел длину = 1, и 3-ка векторов j,b,c была компланарной

k=[i,j] – векторное произведение (k=1)

В этом базисе: b(b₁,0,0); с(с₁,с₂,0); а(а₁,а₂,а₃)

Вычислим: [b,c]

[b,c](0,0,b₁c₂)

[a,[bc]](| |,| |, |)

[a,[b,c]](a₂b₁c₂, -a₁,b₁,c₂,0)

ac=a₁c₁+a₂c₂+a₃*0

ab=a₁b₁

b(a,c)=(a₁b₁c₁+a₂b₁c₂,0,0)

c(a,b)=(a₁b₁c₁,a₁b₁c₂,0)

((ac)b-(ab)c)(a₂b₁c2, -a₁b₁c₂,0)

Пусть a,b,c- 3 некомпланарных вектора, ориентированного пространства.

Смешанным произведением векторов a,b,c называется число равное скалярному произведению вектора a на векторное произведение векторов[b,c] (abc или (a,b,c))

Т.о., по определению abc=a[b,c] (1)

Замечание: Если векторы a,b,c компланарны, то по определению их смешанное произведение считается = 0.

Теорема: Пусть векторы a,b,c в правом ортонормированном базисе {i,j,k} имеют координаты a(a₁,a₂,a₃), b(b₁,b₂,b₃), c(c₁,c₂,c₃). Тогда их смешанное произведение: abc=| |