Аффинные преобразования плоскости и их свойства. Группа аффинных преобразований и ее подгруппы. Применение аффинных преобразований к решению задач

Отображение плоскости P в плоскость R — закон или правило, по которому каждой точке плоскости P сопоставлена некоторая определенная точка на плоскости R. Обозначается f: P→R. Если нужно указать, что точке А на плоскости Р соответствует точка В на плоскости R, то напишем B=f(A), в этом случае В — образ точки А, точка А — прообраз точки В. Совсем не обязательно каждая точка плоскости R является образом какой-либо точки. Если для некоторого отображения плоскости P и R совпадают, то такое отображение называется преобразованием плоскости.

Отображение f: P→R называется взаимно однозначным, если каждая точка плоскости R имеет прообраз, и притом только один.

При выбранных системах координат на плоскостях P и R отображение сопоставляет паре чисел (x,y) пару чисел (x',y'). Задать отображение при выбранных СК — всё равно что задать 2 функции, каждая из которых зависит от 2-х независимых переменных: x΄=φ(x,y), y΄=ψ(x,y).

Преобразование f плоскости Р называетсялинейным, если на Р существует такая декартова система координат, в которой f может быть записано формулами: x΄=a₁x+b₁y+c₁, y΄=a₂x+b₂y+c₂. Взаимно однозначное линейное преобразование называется аффинным.

Для того, чтобы преобразование, задаваемое формулами x΄=a₁x+b₁y+c₁, y΄=a₂x+b₂y+c₂, было взаимно однозначным, необходимо и достаточно, чтобы . Таким образом, аффинное преобразование определяется формулами x΄=a₁x+b₁y+c₁, y΄=a₂x+b₂y+c₂ при условии .

Геометрические свойства аффинных преобразований:

Рассмотрим на плоскости прямую с уравнением и найдем её образ при преобразовании f. (Образ прямой — множество образов её точек). Радиус-вектор образа М' произвольной точки М можно вычислить так: = , где - постоянный вектор , а - радиус-вектор точки М. По свойствам линейных преобразований получаем . Так как f – аффинное преобразование, и то перейдет в вектор и уравнение является уравнением прямой линии. Итак, образы всех точек прямой лежат на прямой. F определяет взаимно однозначное отображение одной прямой на другую.

1.При аффинном преобразовании прямая линия переходит в прямую линию, отрезок переходит в отрезок, параллельные прямые переходят в параллельные.

2.При аффинном преобразовании отношение длин параллельных отрезков не изменяется.

Док-во: пусть отрезки АВ и CD параллельны. Это значит, что существует такое число λ, что . Образы векторов и связаны той же зависимостью . Отсюда следует, что .

Следствие. Если точка С делит отрезок АB в некотором отношении λ, то её образ C' делит образ A'B' отрезка АВ в том же отношении λ.

Свойства аффинного преобразования:

1.Образом параллельных прямых являются параллельные прямые

2. При аффинном преобразовании сохраняется отношение двух отрезков, расположенных на одной прямой AB/CD=A΄B΄/C΄D΄

3. При аффинном преобразовании сохраняется отношение параллельных отрезков

4.При аффинном преобразовании угол и отношение произвольных отрезков не сохраняются, так как любой треугольник можно перевести в любой другой. Поэтому высота и биссектриса треугольника преобразуются обычно в другие линии, медиана же переходит в медиану, так как середина отрезка переходит в середину.

5. При аффинном преобразовании параллелограмм переходит в параллелограмм, трапеция в трапецию.

Группа аффинных преобразований.

Теорема: Множество аффинных преобразований плоскости образуют группу.

Док-во: Пусть задано множество аффинных преобразований A={f₁, f₂,…f_n} и композиция двух аффинных преобразований . , f – аффинное.

Композиция двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование, т.е. операция замкнута на множестве А.

а) eA — нейтральный элемент. ;

б) преобразование, обратное к аффинному также есть аффинное преобразование.

в)

г) группа не является коммутативной т.к. есть примеры того, что два аффинных преобразования дают не коммутативную композицию. Например: