Понятие о квадрируемой фигуре на плоскости и ее площади. Вычисление площади с помощью интеграла

Введем понятие площади плоской фигуры Q - части плоскости, ограниченной простой замкнутой кривой L (разделяет плоскость на две части - внутреннюю и внешнюю). При этом кривую L будем называть границей фигуры Q.

Будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру Q, если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре Q или ее границе. Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры Q.

Ясно, что площадь любого вписанного в фигуру Q многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника.

Пусть {S_i} - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру Q многоугольников, а {S_d} - числовое множество площадей описанных вокруг фигуры Q многоугольников. Очевидно, множество {S_i} ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника), а множество {S_d} ограничено снизу (например, числом нуль). Обозначим через точную верхнюю грань множества {S_i}, а через - точную нижнюю грань множества {S_d}. Числа и называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры Q. Отметим, что нижняя площадь фигуры Q не больше верхней площади этой фигуры, т. е. . В самом деле, предположим, что верно противоположное неравенство . Тогда, полагая и учитывая определение точных граней, найдем такой вписанный в фигуру Q многоугольник, площадь S_i которого будет больше числа и такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник, площадь S_d которого меньше числа . Сопоставляя полученные два неравенства, найдем, что S_d < S_i, чего не может быть, так как площадь S_d любого описанного многоугольника не меньше площади S_i любого вписанного многоугольника.

Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью . При этом число называется площадью фигуры Q.

Теорема 1: Для того чтобы плоская фигура Q была квадрируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε можно было указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, разность S_d - S_i площадей которых была бы меньше ε, S_d - S_i < ε.

Док-во: Так как непрерывная на сегменте [a, b] функция интегрируема, то для любого положительного числа ε можно указать такое разбиение T сегмента [a, b], что разность S - s < ε, где S и s - соответственно верхняя и нижняя суммы разбиения T. Но S и s равны соответственно S_d и S_i, где S_d и S_i - площади ступенчатых фигур (многоугольников), первая из которых содержит криволинейную трапецию, а вторая содержится в криволинейной трапеции (на Рис. 2 изображены также и указанные ступенчатые фигуры). Так как S_d - S_i < ε, то, в силу теоремы 1, криволинейная трапеция квадрируема. Поскольку предел при Δ → 0 верхних и нижних сумм равен и s ≤ P ≤ S, то площадь P криволинейной трапеции может быть найдена по формуле .

Замечание. Если функция f(x) непрерывна и неположительна на сегменте [a, b], то значение интеграла равно взятой с отрицательным знаком площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), ординатами в точках a и b и отрезком оси Ox между точками a и b. Поэтому, если f(x) меняет знак, то равен сумме взятых с определенным знаком площадей криволинейных трапеций, расположенных выше и ниже оси Ox, причем площади первых берутся со знаком “+”, а вторых со знаком “-“.