Логарифмическая и обратные тригонометрические функции

Функцию вида y = log_a(x), где a любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием а. Обозначения логарифма log_a(b) - данная запись означает логарифм b по основанию а.

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0<a

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1.

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0<x<1:

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0<a<1):

7. Функция не является четной или нечетной.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

Обратные тригонометрические функции, также круговые функции или аркфункции — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

Основные обратные тригонометрические функции:

1.Арксинус – arcsin

Арксинусом числа a , где , называется такой угол x, для которого sin x=a, где . Функция y=arcsin x является строго возрастающей.

Учтем, что sin(arcsin x)=x, ; arcsin(sin x)=x,

Свойства функции arcsin x:

1) arcsin(-x)=-arcsin x;

2) arcsin x=

3) arcsin x=

2.Арккосинус – arccos

Арккосинусом числа a называется такой угол x , для которого cos x=a , где 0≤x≤π, . Функция y=arccos x является строго убывающей.

Учтем, что: cos(arccos x)=x, ; arccos(cos x)=x,0≤x≤π

Свойства функции arcos x:

1) arccos(-x)=π-arccos x;

2) arccos x=

3) arccos x=

3. Арктангенс – arctg

Арктангенсом числа a называется такой угол x , для которого tg x=a, .

Функция y=arctg x непрерывна и ограничена на всей числовой прямой и является строго возрастающей.

Свойства функции arctg x:

1)

2)

4. Арккотангенс – arcctg

Арккотангенсом числа a называется такой угол x , для которого ctg x=a, 0<x<π.

Функция y=arcctg непрерывна и ограничена на всей числовой прямой и является строго убывающей.

Свойства функции arcctg:

1)

2) arcctg x=

Существуют два основных соотношения между обратными функциями:

arcsin x+arccos x=π/2;

arctg x+arcctg x=π/2;

Функции arcsin x и arccos x определены на отрезке [-1, 1], а arctg x и arcctg x - на всей числовой прямой.

Их графики изображены на рисунках: