И их свойства.

Определение. Две фундаментальные последовательности рациональных чисел называются эквивалентными, если является нулевой последовательностью, иначе .

Теорема 5.Отношение ≈ на множестве всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел является отношением эквивалентности.

Доказательство.

Обозначим множество всех последовательностей рациональных чисел через .

1. Рефлективность (?)

.

2. Симметричность (?)

3. Транзитивность (?)

.

что и требовалось доказать

Теорема 6. Любая подпоследовательность фундаментальной последовательности эквивалентна ей.

Доказательство.

Пусть - ф.п.р.ч., - произвольная подпоследовательность последовательности . Тогда - монотонно возрастающая функция на множестве натуральных чисел. Покажем, что .

В силу фундаментальности последовательности имеем . Учитывая это, получим

.

что и требовалось доказать

Теорема 7. Фундаментальная последовательность рациональных чисел, эквивалентная нулевой, положительной, отрицательной является соответственно нулевой, положительной, отрицательной.