Доказательство. Умножение определено , т.к

- бинарная операция (?)

Умножение определено , т.к. определено умножение любых целых чисел. Покажем однозначность.

- бинарная операция (?)

Сложение определено , т.к. определено сложение и умножение любых целых чисел. Покажем однозначность.

Таким образом, для того, чтобы доказать однозначность достаточно проверить равенство:

.

Поскольку в силу того, что сумма и произведение целых чисел также являются целыми числами, множество замкнуто относительно сложения и умножения.

что и требовалось доказать.