Архимедовская расположенность кольца целых чисел.
Теорема 16. Кольцо целых чисел является архимедовски расположенным, т.е. выполняются следующее условие (аксиома Архимеда): , где
,
такое, что a<nb.
Доказательство.
Пусть a и b- натуральные числа. Докажем справедливость утверждения методом математической индукции по .
1. База индукции b=1.
.
2. Индуктивное предположение.
Пусть верно для , т.е.
.
3. Проверим для , т.е.
(?)
Тогда .
Пусть теперь . Возможны случаи:
,
(доказано выше).
что и требовалось доказать.
Теорема 17. Кольцо целых чисел не является всюду плотным.
Доказательство.
Поскольку , а
не является всюду плотным, то и
также всюду плотным не будет.
что и требовалось доказать.
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 938;