Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.
Договоримся обозначать множество целых чисел через .
Теорема 4. Полукольцо натуральных чисел изоморфно вкладывается в кольцо целых чисел.
Доказательство.
Рассмотрим множество . Покажем, что подалгебра алгебры .
замкнуто относительно сложения и умножения (?)
Рассмотрим соответствие заданное по правилу .
- отображение (?)
Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого натурального числа можно построить класс .
Однозначность: (?)
ъ
- биекция (?)
Инъективность: (?)
.
Сюръективность: (?)
Возьмем , поскольку . В силу произвольности сюръективность доказана.
- гомоморфизм (?)
Сохранение операции сложения: (?)
Сохранение операции умножения: (?)
Таким образом доказано, что алгебра изоморфна подалгебре алгебры , следовательно, изоморфно вкладывается в .
что и требовалось доказать.
Замечание. Поскольку полукольцо натуральных чисел вкладываются в кольцо целых чисел, то отождествим элементы и , т.е. будем считать их (тождественно) равными. Ввиду этого отождествления получим .
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 921;