Доказательство. Сложение определено , т.к

- бинарная операция (?)

Сложение определено , т.к. определено сложение любых натуральных чисел. Покажем однозначность.

.

- бинарная операция (?)

Умножение определено , т.к. определено сложение и умножение любых натуральных чисел. Покажем однозначность.

.

Поскольку в силу того, что сумма и произведение натуральных чисел также являются натуральными числами, множество замкнуто относительно сложения и умножения.

что и требовалось доказать.