Доказательство. Проведем методом математической индукции в 3-ей форме
Существование (?)
Проведем методом математической индукции в 3-ей форме.
1. База индукции.
Рассмотрим множество . Очевидно, это множество непустое и не ограничено сверху. Для любого элемента В верна теорема о делении с остатком в разделе существования, поскольку b≠0, bn=bn+0, где ,0≤ < .
2. Индуктивное предположение.
Предположим, что для произвольного целого числа z данная теорема справедлива, т.е.z = bq+r, где 0≤r< .
3. Проверим справедливость данного утверждения для числа z – 1.
z = bq+r bq+(r–1), где0≤r< .
Рассмотрим возможные случаи:
, где - неполное частное, - остаток, причем 0≤ < .
. Тогда q, r–1 – искомая пара чисел для и .
Существование доказано.
Единственность (?)
Методом от противного. Пусть . Тогда . Учитывая, что , рассмотрим следующие случаи:
1. .
2. . Тогда - противоречие. Следовательно, такой случай невозможен.
3. . Невозможен, доказательство аналогично 2.
Таким образом, из трех случаев возможен только один . Единственность доказана.
что и требовалось доказать.
Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 798;