Доказательство. Проведем методом математической индукции в 3-ей форме

Существование (?)

Проведем методом математической индукции в 3-ей форме.

1. База индукции.

Рассмотрим множество . Очевидно, это множество непустое и не ограничено сверху. Для любого элемента В верна теорема о делении с остатком в разделе существования, поскольку b≠0, bn=bn+0, где ,0≤ < .

2. Индуктивное предположение.

Предположим, что для произвольного целого числа z данная теорема справедлива, т.е.z = bq+r, где 0≤r< .

3. Проверим справедливость данного утверждения для числа z – 1.

z = bq+r bq+(r–1), где0≤r< .

Рассмотрим возможные случаи:

, где - неполное частное, - остаток, причем 0≤ < .

. Тогда q, r–1 – искомая пара чисел для и .

Существование доказано.

Единственность (?)

Методом от противного. Пусть . Тогда . Учитывая, что , рассмотрим следующие случаи:

1. .

2. . Тогда - противоречие. Следовательно, такой случай невозможен.

3. . Невозможен, доказательство аналогично 2.

Таким образом, из трех случаев возможен только один . Единственность доказана.

что и требовалось доказать.

 








Дата добавления: 2015-08-21; просмотров: 714;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.005 сек.