Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.

Теорема 11. Полукольцо натуральных чисел является архимедовски расположенным, т.е. выполняются следующее условие (аксиома Архимеда): для любых натуральных чисел a,b a<nb для некоторого натурального n.

Доказательство.

.

что и требовалось доказать.

Теорема 12. Полукольцо натуральных чисел не является всюду плотным.

Доказательство.

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что натуральные числа и являются соседними. Предположим обратное: пусть такое, что . Тогда . Последнее противоречит условию . Следовательно, предположение неверно.

что и требовалось доказать.