Решение. Условия выполняются, следовательно, функции являются гармонической парой.

Проверим условия КРЭДа:

.

Условия выполняются, следовательно, функции являются гармонической парой.

Определение 33.(второе определение аналитической функции) Функция комплексного переменного u(x,y) +i v(x,y), образованная гармонической парой функций u(x,y) и v(x,y) в области D, называется аналитической в этой области.

Теорема 6.Пусть l – любой замкнутый кусочно-гладкий контур, лежащий в области D, где функции u(x,y) и v(x,y) образуют гармоническую пару, тогда справедливы равенства:

Теорема 7. Для любой гармонической в односвязной области D функции можно найти с точностью до постоянного слагаемого сопряженную с ней гармоническую функцию:

Замечание. Как известно из теорем теории поля, интеграл, рассматриваемый в теореме, не будет зависеть от вида кривой, и в качестве пути интегрирования можно выбрать ломаную, звенья которой параллельны осям координат:

Аналогично для

Пример 25. Проверить, является ли функция гармонической. Найти аналитическую функцию по заданной мнимой части .