Рівняння плоскої хвилі

Хвиля – це процес розповсюдження коливань. Якщо в якійсь точці простору збуджується коливання, то воно буде розповсюджуватись завдяки силам взаємодії, що існують між частинками середовища. В залежності від напрямку коливань частинок середовища по відношенню до напрямку розповсюдження хвилі бувають повздовжні (в газах, рідинах і твердих тілах) і поперечні (виникають, коли є пружні сили відносно зсуву).

Щоб описати хвилю треба вказати як буде залежати зміщення від просторової координати і часу, тобто знайти . У випадку одномірного розповсюдження хвилі, наприклад, вздовж осі (рис.97) коливання частинок, що знаходяться в певній площині будуть запізнюватися на час порівняно з коливаннями у точці .

де – швидкість розповсюдження збурення. Аргумент косинуса називається фазою хвилі.

Геометричне місце точок, до яких доходить коливання в момент часу , називається фронтом хвилі. Хвильова поверхня – це геометричне місце точок однакової фази. Хвильові поверхні можуть бути складні, в найпростіших випадках вони мають форму площини або сфери, тому говорять про плоску або сферичну хвилю.

Довжина хвилі – найменша відстань між точками простору, які мають однакове зміщення, або що відрізняються по фазі на величину , як це вимагає періодичність косинуса. З означення випливає

звідки або . З останнього співвідношення випливає інше означення , як відстані, на яку поширюється хвиля за час, рівний періоду коливань частинок середовища.

Таким чином, рівняння плоскої хвилі (і повздовжньої, і поперечної), яка розповсюджується вздовж осі , можна представити у вигляді

Тут введено величину , яка називається хвильовим числом.

Якщо зафіксувати якусь фазу , і взяти похідну по часу від цього виразу, то можна знайти величину швидкості

яка одночасно є швидкістю пересування фази і називається фазовою швидкістю.

Згідно , тому рівняння описує хвилю, яка розповсюджується в додатному напрямку осі . Хвиля, яка розповсюджується в протилежному напрямку (для неї ) описується рівнянням

Знайдемо рівняння плоскої хвилі, яка розповсюджується у напрямку, що визначається напрямляючими косинусами , , , де , , - кути, які утворює з осями , , нормаль до фронту плоскої хвилі (рис.98). Нехай плоска хвильова поверхня знаходиться на відстані від початку координат. Тоді коливання в цій площині будуть запізнюватись на час від коливань в площині, що проходить через початок координат, і будуть описуватись рівнянням