Вимушені коливання. У випадку дії на систему сили, яка змінюється по гармонічному закону, коливання описується диференціальним рівнянням (дивись )

У випадку дії на систему сили, яка змінюється по гармонічному закону, коливання описується диференціальним рівнянням (дивись )

.

Тут , – амплітуда сили, – частота сили. Відмітимо, що в попередньому параграфі -ою позначалася зовсім інша величина, яку тут позначимо .

Рівняння є неоднорідним. Згідно загальний розв’язок неоднорідного рівняння складається із суми загального розв’язку однорідного рівняння і окремого розв’язку неоднорідного рівняння. Загальний розв’язок однорідного рівняння ми знайшли

,

де .

В пошуках окремого розв’язку неоднорідного рівняння представимо праву частину рівняння комплексним числом

.

Приходимо до рівняння

.

Окремий розв’язок будемо шукати у вигляді

де – деяке комплексне число.

Диференціюючи по часу

,

і підставляючи ці вирази в , отримаємо алгебраїчне рівняння

.

Звідси

.

Запишемо комплексне число, що стоїть в знаменнику, в показниковій формі

де

, .

Підстановкою в одержуємо амплітуду

,

а підставляючи в одержуємо окремий розв’язок рівняння

.

Дійсна частина цього комплексного числа визначає окремий розв’язок рівняння

.

Тут і визначаються рівняннями . В загальному розв’язку неоднорідного рівняння , який є сумою рівнянь і , суттєвим є лише рівняння – окремий розв’язок неоднорідного рівняння. Внаслідок експоненціального затухання по закону вклад доданка в загальний розв’язок з часом зменшується до нуля. Таким чином, рівняння описує стабільні в часі вимушені коливання.

Характерною властивістю вимушених коливань є залежність амплітуди коливань від частоти , з якою сила діє на систему, причому ця залежність має максимум. Явище збільшення амплітуди коливань при певній частоті дії сили називається резонансом. Для знаходження резонансної частоти дослідимо на екстремум амплітуду, а точніше функцію , що стоїть в знаменнику амплітуди .

Від функції беремо похідну і прирівнюємо її нулю

.

Це рівняння має три розв’язки: і . Розв’язок рівний нулю відповідає мінімуму амплітуди. Із двох інших розв’язків фізичний зміст має розв’язок із знаком „ ”. Отже,

.

Підставляючи в рівняння , отримаємо резонансну амплітуду

.

Залежності амплітуди вимушених коливань від частоти дії сили для різних значень коефіцієнта затухання показані на рис.96. У відповідності з і чим менше , тим вище і більше зсунутими вправо розташовані на графіках максимуми амплітуди. Із збільшенням частоти амплітуда монотонно зменшується. При зменшенні до нуля всі резонансні криві прямують до одного і того ж значення амплітуди , тобто . Це значення дорівнює зміщенню із положення рівноваги, яке отримує система під дією сталої сили величиною .