Перетворення Лоренца. Чому виникла необхідність у перетвореннях Лоренца і як їх можна було отримати

Чому виникла необхідність у перетвореннях Лоренца і як їх можна було отримати. Щоб відповісти на ці питання, треба ще раз звернутися до хибності уявлень про простір і час, які існували в учнів Ньютона і Галілея. Складність сприйняття нових просторово-часових уявлень спеціальної теорії відносності (СТВ) починається, мабуть, із згадування про ефір. Що таке ефір, якщо потім виявляється, що його просто не існує? Наскільки він (ефір) в свій час був необхідний, зрозуміти це можна, лише ставлячи себе на місце дослідників тих часів і враховуючи ті знання, якими вони володіли. А на той час було добре відомо, як поширюються механічні, звукові хвилі. Звукові хвилі як процес поширення коливань можуть поширюватись лише в якомусь середовищі, не в вакуумі. Коливаються саме частинки середовища. То і світловій хвилі приписували за аналогією ту ж властивість, вважаючи, що світло повинно поширюватись в деякому середовищі, яке і назвали ефіром. В той час було також відомо, що швидкості поширення в твердому тілі повздовжньої і поперечної хвиль визначаються, відповідно, модулем розтягу і модулем зсуву і залежать від густини середовища . Обидві швидкості визначаються формулами

і .

А враховуючи велику швидкість поширення світла , довелося середовищу, тобто ефіру, в якому світло поширюється, приписати надзвичайні властивості, а саме, що за пружними властивостями він повинен бути твердішим за сталь, а за густиною – розрідженіший за повітря. Але основна помилка була в тому, що світло нібито викликає коливання частинок середовища, ефіру, в якому поширюється. Тобто, про швидкість світла згадувалося, як про швидкість руху матеріальної частинки. Нагадаємо, що в механіці добре відомим є правило додавання швидкостей. Наприклад, якщо відносно якоїсь нерухомої системи відліку рухається платформа (світло) із швидкістю і в тому ж напрямку рухається автомобіль із швидкістю відносно нерухомої системи відліку, то швидкість платформи (світла) відносно автомобіля буде дорівнювати . Так само, гадали, поширюється і світло, якщо спостерігач знаходиться, наприклад, на Землі, яка рухається відносно ефіру із швидкістю , то світло відносно спостерігача повинно рухатись із швидкістю . По суті справи спробам знайти цю різницю швидкостей і були присвячені всі досліди (в тому числі і дослід Майкельсона-Морлі), в яких робилися спроби знайти ту виділену інерціальну систему відліку, яку пов’язали з ефіром. Справді, якщо б виявилося, що відносно автомобіля (див. рис.101) світло мало швидкість , то систем відліку, яка віддаляється від автомобіля із швидкістю , була б тією самою виділеною (абсолютною) інерціальною системою відліку. Але виявилося, що ні в одному схожому описаному досліді величина не спостерігалась. Завжди швидкість світла відносно автомобіля була рівною величині . Експеримент твердив, що природа влаштована так, що вона не дозволяє виділити із усіх якусь особливу інерціальну систему відліку. Висновок: всі інерціальні системи відліку рівноправні в тому розумінні, що фізичні явища, в даному випадку явище поширення світла, протікають в них однаково. Це твердження і було піднесено Ейнштейном в ранг принципу, закону, якому підкоряються властивості оточуючого нас простору. Таким чином, принцип відносності Галілея, що стосувався механічних явищ, був поширений Ейнштейном на всі фізичні явища. Другим принципом спеціальної теорії відносності є твердження про сталість та обмеженість швидкості світла у всіх інерціальних системах відліку.

Досліди, подібні до експерименту Майкельсона-Морлі, вказали на наближеність перетворень Галілея і на необхідність шукати більш загальні і більш правильні перетворення, якими і виявилися перетворення Лоренца.

Подивимося на рис.102, на якому показані система відліку , що є в спокої, й інерціальна система відліку , що рухається рівномірно і прямолінійно (тобто ). В момент часу положення обох систем співпадали. Годинники в них синхронізовані, як завжди, за допомогою світлових імпульсів. Нехай в момент часу порція світла вийшла із загального співпадаючого початку координат обох систем і . Нехай точка , в яку прийшла порція світла, має в системах і координати відповідно , , , і , , , . Згідно з експериментальним результатом про сталість швидкості світла в обох інерціальних системах і відстані і від відповідних початків систем координат до точки , як видно із рис.102, будуть дорівнювати

Тому ми вимушені погодитися з тим, що проміжки часу і (виміряні різними спостерігачами і ) різні, хоч це і суперечить нашому повсякденному досвіду.

З формули матимемо

а з міркувань симетрії випливає, що , . Таким чином, з формули одержимо:

.

Припустимо, що формули переходу для координат від одної системи відліку до іншої лінійні і мають наступний вигляд

Тут , і – сталі величини, які ми визначимо пізніше.

Формули перетворення повинні задовольняти певні умови: по-перше, бути сумісними з рівнянням . А вимога того, що формули перетворення повинні бути лінійними, задається природно тому, що подія, яка має певні координати в одній системі, повинна перетворюватись в одну подію з іншими координатами другої системи відліку. (Якщо б формули перетворення були, наприклад, квадратичними рівняннями, то, розв’язуючи їх, ми отримали б два розв’язки, які б свідчили про те, що одній події в одній системі відліку відповідали б дві події в другій системі відліку, – неможлива ситуація). Відмітимо, що формули написані в такому вигляді ще і з тих міркувань, що вони повинні задовольняти умову співпадаючих систем, тобто коли і , то повинна виконуватися умова і .

Підставляючи в , отримаємо:

.

Оскільки цей вираз тотожньо дорівнює нулю, то

Розв’язуючи цю систему рівнянь відносно , і , одержимо:

, .

Формули перетворення , відомі як перетворення Лоренца, можна тепер записати у вигляді:

Якщо розв’язати рівняння відносно нештрихованих величин, то отримаємо формули перетворення для переходу від системи до -системи

З перетворень Лоренца випливають незвичайні з точки зору Ньютонівської механіки наслідки. Перший – так зване Лоренцове скорочення довжини. Якщо стержень довжиною (див. рис.103) знаходиться в стані спокою в -системі, то для визначення його довжини в рухомій -системі слід відмітити координати його кінців і в один і той же момент часу . Різниця дасть довжину стержня в системі , відносно якої він рухається зі швидкістю . Використовуючи перше з рівнянь , отримаємо співвідношення

.

Таким чином, довжина стержня , виміряна в системі, відносно якої він рухається, виявляється меншою, ніж довжина , виміряна в системі, відносно якої стержень знаходиться в спокої.

Нехай в одній і тій самій точці системи відбуваються дві події. Першій події відповідає момент часу , другій події – момент часу . Згідно з останньою із формул , цим подіям відповідають в системі моменти часу

, . Звідси .

Вводячи позначення і , отримаємо формулу

,

яка пов’язує проміжки часу між двома подіями, виміряними в системах і .

Припустимо, що обидві події відбуваються з однією частинкою, яка знаходиться в спокої в системі і рухається відносно системи з швидкістю . Тоді можемо вважати проміжком часу, виміряним за годинником, який рухається разом із частинкою. називається власним часом і, як видно з формули , він найменший .

Співвідношення було експериментально підтверджено, наприклад, в такому досліді. Відомо, що в склад космічних променів входять частки, які називаються -мезонами, мюонами. Ці частинки нестабільні і розпадаються спонтанно. Середній час життя, виміряний в системі координат, відносно якої -мезони нерухомі, становить приблизно . Здавалось би, що навіть рухаючись зі швидкістю світла, -мезони можуть пройти лише шлях . Однак спостереження показують, що мюони виникають в космічних променях на висоті над поверхнею Землі і все ж таки встигають досягти земної поверхні. Цей факт пояснюється тим, що – це власний час життя мюона. Але час, визначений за годинником експериментатора, пов’язаного із Землею, значно більший (див. формулу ). Тому немає нічого дивного в тому, що для земного спостерігача пробіг мюона значно більший, ніж . Відмітимо, що з точки зору спостерігача, який рухається разом із мюоном, відстань, що пролітає -мезон до поверхні Землі, скорочується згідно з формулою до . Тому мюон встигає пролетіти цю відстань за .

Цілком природно вважати вирази і проекціями на осі і вектора швидкості матеріальної точки відповідно в - і - системах. Із формул випливає, що

, , , .

Поділивши перші три рівності на четверту, одержимо формули перетворення швидкостей при переході від однієї системи відліку до іншої

, , .

Із формул легко отримати вирази для швидкостей в системі через швидкості в системі :

, , .

Ці формули відрізняються від тільки знаком перед . Якщо тіло рухається паралельно осі , його швидкість відносно системи співпадає з , а швидкість відносно системи – з . В цьому випадку закон додавання швидкостей має вигляд

.

Нехай швидкість дорівнює швидкості світла . Тоді для отримаємо за формулою значення

.

Припустивши в формулі навіть , отримаємо для все одно значення, яке дорівнює . Таким чином, якщо швидкості і не перевищують , то і результуюча швидкість не може перевищити .