Затухаючі коливання

Затухаючі коливання описуються рівнянням (дивись )

.

Розв’язок шукаємо у вигляді . Підставляючи похідні і в отримаємо характеристичне рівняння

,

коренями якого є

.

Якщо затухання не дуже велике (коли ), то вираз під радикалом буде від’ємним. Позначимо його , де .

Тоді згідно загальний розв’язок рівняння матиме вигляд

.

Вираз в дужках аналогічний виразу , тому його можна представити у вигляді . Тоді маємо розв’язок рівняння затухаючих коливань

.

Тут і – довільні сталі.

На рис.94 приведений графік функції . Рух, заданий , можна розглядати як гармонічне коливання з частотою і амплітудою , яка змінюється з часом по закону . Верхня пунктирна крива на рис.94 є графіком функції , де – амплітуда в початковий момент часу. Початкове зміщення залежить крім ще і від початкової фази . Швидкість затухання коливань характеризується величиною , яка називається коефіцієнтом затухання. Знайдемо час , за який амплітуда зменшиться в разів. , звідси .

За формулою запишемо вираз для періоду затухаючих коливань

.

При малих опорах середовища період майже стала величина , а із збільшенням коефіцієнта затухання період коливань збільшується.

Введемо логарифмічний декремент затухання як логарифм відношення амплітуд, які відрізняються одна від одної через період

.

Саме логарифмічний декремент використовується для характеристики коливної системи. За допомогою зменшення амплітуди можна записати так

.

За час , коли амплітуда зменшиться в разів, нехай відбулося коливань . Тоді на підставі умови

одержуємо

.

Таким чином, логарифмічний декремент затухання дорівнює величині, оберненій кількості коливань, які відбулися до зменшення амплітуди в разів.

Для характеристики коливної системи часто використовується також величина , яка називається добротністю коливної системи.

Із формули випливає, що із зростанням коефіцієнта затухання період коливань збільшується і при , період коливань обертається в нескінченність, тобто рух стає неперіодичним.

При корні характеристичного рівняння стають дійсними, а тому розв’язок диференціального рівняння буде мати вигляд

,

де і – дійсні сталі, величини яких залежать від початкових умов (значень і ).

З останнього рівняння випливає, що рух є аперіодичним, – система повертається в стан рівноваги без коливань. На рис.95 показані два можливих способи повернення системи в положення рівноваги. Який саме рух реалізується залежить від початкових умов. Рух, показаний кривою 2 наприклад, можливий при наявності сильного поштовху кульки в напрямку положення рівноваги.