amp; 7.5. Лінійні однорідні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами називається рівняння виду:

де - сталі величини.

Щоб знайти загальний розв’язок рівняння, потрібно скласти характеристичне рівняння яке дістаємо з рівняння заміною на відповідні степені к, причому сама функція у замінюється одиницею.

Загальний розв’язок будується залежно від коренів k1 і k2 характеристичного рівняння.

Випадок 1 . Корені k1 і k2 – дійсні і різні.

Загальний розв’язок рівняння має вигляд:

Випадок 2 . Корені k1 і k2 – дійсні і рівні. k1 = k2 = k .

Загальний розв’язок рівняння має вигляд:

Випадок 3 . Корені k1 і k2 – комплексні спряжені: k1 = ; k2 =

Загальний розв’язок рівняння має вигляд:

Приклад 4. Розв’язати рівняння :

Розв’язання.

Складаємо характеристичне рівняння:

,

Корені характеристичного рівняння дійсні і різні, то загальний розв’язок диференціального рівняння запишеться так:

Приклад 5. Розв’язати рівняння = 0.

Розв’язання

Складаємо характеристичне рівняння:

,

Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні, отже загальний розв’язок диференціального рівняння запишеться так:

Приклад 6. Розв’язати рівняння = 0.

Розв’язання

Характеристичне рівняння має комплексні корені

Загальний розв’язок диференціального рівняння запишеться так:

Приклад 7. Знайти частинний розв’язок рівняння

= 0 , якщо при х = 0.

Розв’язання

Характеристичне рівняння , має рівні дійсні корені , то загальний роз’вязок диференціального рівняння запишеться так:

Диференціюючи загальний розв’язок, маємо

Підставимо початкові дані у вирази для , дістанемо систему рівнянь:

 

або

звідки C1 = 1 і C2 = 5.

Отже, шуканий частинний розв'язок має вигляд








Дата добавления: 2015-06-27; просмотров: 7986; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2022 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.