amp; 7.5. Лінійні однорідні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки.

Лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку зі сталими коефіцієнтами називається рівняння виду:

де - сталі величини.

Щоб знайти загальний розв’язок рівняння, потрібно скласти характеристичне рівняння яке дістаємо з рівняння заміною на відповідні степені к, причому сама функція у замінюється одиницею.

Загальний розв’язок будується залежно від коренів k₁ і k₂ характеристичного рівняння.

Випадок 1 . Корені k₁ і k₂ – дійсні і різні.

Загальний розв’язок рівняння має вигляд:

Випадок 2 . Корені k₁ і k₂ – дійсні і рівні. k₁ = k₂ = k .

Загальний розв’язок рівняння має вигляд:

Випадок 3 . Корені k₁ і k₂ – комплексні спряжені: k₁ = ; k₂ =

Загальний розв’язок рівняння має вигляд:

Приклад 4. Розв’язати рівняння :

Розв’язання.

Складаємо характеристичне рівняння:

,

Корені характеристичного рівняння дійсні і різні, то загальний розв’язок диференціального рівняння запишеться так:

Приклад 5. Розв’язати рівняння = 0.

Розв’язання

Складаємо характеристичне рівняння:

,

Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні, отже загальний розв’язок диференціального рівняння запишеться так:

Приклад 6. Розв’язати рівняння = 0.

Розв’язання

Характеристичне рівняння має комплексні корені

Загальний розв’язок диференціального рівняння запишеться так:

Приклад 7. Знайти частинний розв’язок рівняння

= 0 , якщо при х = 0.

Розв’язання

Характеристичне рівняння , має рівні дійсні корені , то загальний роз’вязок диференціального рівняння запишеться так:

Диференціюючи загальний розв’язок, маємо

Підставимо початкові дані у вирази для , дістанемо систему рівнянь:

або

звідки C₁ = 1 і C₂ = 5.

Отже, шуканий частинний розв'язок має вигляд