Доказательство. Мы будем доказывать теорему исходя из следующего очевидного двойного неравенства

Мы будем доказывать теорему исходя из следующего очевидного двойного неравенства

, где Z = x + y·i (2)

Необходимость. Пусть lim (с_n) = с. Покажем, что верны равенства lim a_n = a и lim b_n = b (3).

Очевидно (4)

Так как , когда n → ∞, то из левой части неравенства (4) следует, что и , когда n → ∞. поэтому выполняются равенства (3). Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть теперь выполняются равенства (3). Из равенства (3) следует, что и , когда n → ∞, поэтому в силу правой части неравенства (4) будет , когда n→∞, значит lim(с_n)=с. Достаточность доказана.

Итак, вопрос о сходимости последовательности комплексных чисел эквивалентен сходимости двух вещественных числовых последовательностей, поэтому на последовательности комплексных чисел распространяются все основные свойства пределов вещественных числовых последовательностей.

Например, для последовательностей комплексных чисел справедлив критерий Коши: для того, чтобы последовательность комплексных чисел (с_n) сходилась, необходимо и достаточно, чтобы для любого , что при любом n, m > N выполняется неравенство .