Доказательство. Построим дробно-линейную функцию (1)

Построим дробно-линейную функцию (1). Она обладает свойством (2) h(z_k)=W_k и отображает линию γ на Г. Покажем, что эта дробно-линейная функция отображает область g на область G.

Мы знаем, что дробно-линейная функция осуществляет конформные отображения 1^го рода. Поэтому, если отрезок δ, являющийся нормалью к линии γ, проведенной через точку z₂ внутрь области g, т. е. влево от наблюдателя, стоящего в точке z₂ и стоящего вдоль линии γ в выбранном направлении, то его образ Δ определен (также являющимся отрезком прямой или другой окружности) будет также направлен в левую сторону от наблюдателя, стоящего в точке W₂ и стоящего вдоль линии Г ввыбранном направлении. Следовательно, этот образ G, следовательно, h(g) = G.

Отобразить взаимнооднозначно и конформно верхнюю полуплоскость > 0 на внутренности единичной окружности.

Пусть z₁ = -1, z₂ = 0, z₃ = 1, W₁ = 1, W₂ = i, W₃ = -1.

Тогда, по предыдущей теореме дробно-линейная функция, определяемая уравнением , будет отображать верхнюю полуплоскость g на внутренность G единичного круга. Можно показать, что эта функции равна .