Доказательство. Очевидно у функции W = eZ вещественная часть u=ex·cosy, а мнимая часть v=ex·siny

Очевидно у функции W = e^Z вещественная часть u=e^x·cosy, а мнимая часть v=e^x·siny. Эта функция имеет конечно непрерывные частные производные первого порядка и следовательно являются дифференцируемыми в любой точке. Причем справедливы равенства:

Следовательно, по известной теореме о существовании производной комплексной функции в точке функции W = e^Z имеет конечную производную в любой точке Z, и эта производная будет равна:

Теорема сложения.

Для любых двух комплексных чисел Z₁ = x₁+i∙y₁ и Z₂=x₂+i∙y₂ справедливо равенство .