Доказательство.

Чтобы доказать справедливость этих формул, сначала этого выделим формулу Эйлера. Для этого умножим обе части второй формулы равенства(2) на i: .

Складываем первую формулу с полученной:

cosZ+i∙sinZ=exp(iZ) (формула Эйлера), Z заменим на Z₁+Z₂.

(4)

Вместо Z₁ и Z₂ мы поставим (-Z₁) и (-Z₂).

(5)

Складывая и вычитая (4) и (5), получим

(6)

Пусть теперь Z₁ = Z и Z₂ = -Z, подставим и получим

1 = cos²Z+sin²Z

(cos(Z-Z)=cosZ∙cosZ+sinZ∙sinZ).

С тригонометрическими функциями cosZ и sinZ тесно связаны гиперболические функции: chZ - гиперболический косинус Z и shZ - гиперболический синус Z.

(7)

chZ = cos(iZ); shZ = -i∙sin(iZ)

Определим действительные и мнимые части функций cosZ и sinZ.

Пусть Z = x+i∙y

действительная часть

Она ввела функции cosZ и sinZ, используя формулы:

;

Поясним откуда взялись эти формулы:

(1)

y заменим на –y

(2)

Сложим и разделим на два: , если из (1) вычели (2) и разделим на 2i, то получим: (ну а y можно заменить на x).

Вывели равенства:

(*)

Т. к.

Подставим вместо Z точку iZ :

(умножим числитель и знаменатель на i).

ch²Z - sh²Z = 1 (возведем (*) в квадрат).

Отделим действительную и мнимую части:

Найдем модули функций cosZ и sinZ. Очевидно,

(8)

(9)

Из формул (8) и (9) непосредственно вытекает, что:

(заменим в (8) sin²x на 1, отбросим в (9) sin²x)

(10)

(отбросим в (8) sin²x, заменим в (9) sin²x на 1)

(11)

( )