Составляющая вектора на подпространство

Пусть L – подпространство евклидового или унитарного пространства V. Тогда "xÎV $x₀ÎL Ù $x^{^}ÎL^{^} (причем единственные), такие что x = x₀ + x^{^}, x₀ – называется ортогональной проекцией вектора х на подпространство L. x^{^} – называется ортогональной составляющей вектора х на подпространство L. Расстоянием между двумя множествами M₁ и M₂ называется кратчайшее из расстояний между элементами M₁ и M₂:

r(M₁, M₂) = .

В частности r(x, M) = ; r²(x, y) = |x – y|² = = |x – x₀|² + |x₀ – y|² ³ ³ | x – x₀ |² = | x^{^} |², где yÎL, т.е. расстоянием между вектором и подпространством является длина его ортогональной составляющей. Для евклидового пространства углом между вектором х и подпространством L называется угол jÎ[0, p] такой, что .

Преобразовав , получим, что косинус угла между подпространством и вектором равен отношению длины ортогональной составляющей вектора к длине самого вектора.

Рассмотрим – ортогональный базис в подпространстве L:

"xÎV x = x₀ + x^{^} = a₁e₁ + a₁e₁ + … + a_ke_k + x^{^}.

Умножим скалярно обе части равенства на e_i:

, т.е.

– это формулы для нахождения ортогональной проекции и ортогональной составляющей вектора х на подпространство L.