Выпуклость функции. Точки перегиба.

Функция у =¦(х) называется выпуклой вниз на промежутке Х, если для любых двух значений х₁, х₂ Î Х выполняется неравенство:

Рис.6.

В интервале (a,b) функция выпукла вверх, а в интервале (b,c) - выпукла вниз (рис.6).

Теорема. Функция выпукла вниз (вверх) на промежутке Х тогда и только тогда, когда ее первая производная на этом промежутке монотонно возрастает (убывает).

Теорема (достаточное условие выпуклости функции вниз(вверх)). Если вторая производная дважды непрерывной функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна нулю, т.е. ¦¢¢( х) = 0.

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀ меняет свой знак, то х₀ есть точка перегиба.

Следует отметить, что если стационарная точка дифференцируемой функции не является точкой экстремума, то она есть точка перегиба.

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

1. Найти вторую производную у¢¢ = ¦¢¢( х).

2. Найти точки функции, в которых вторая производная ¦¢¢( х) = 0 или не существует.

3. Исследовать знак второй производной слева и справа от найденных точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4. Найти значения функции в точках перегиба.

Пример 3. Исследовать на выпуклость график функции у = х³ - 3х.

Р е ш е н и е.

1. Находим вторую производную этой функции у¢¢ = 6х.

2. Находим точки функции, в которых вторая производная ¦¢¢( х) = 0: х = 0.

3. При х < 0 ¦¢¢( х) < 0 функция выпукла вверх, а при х>0 ¦¢¢( х) >0 функция выпукла вниз. Точка х = 0 – точка перегиба.

4.Значение функции в точке перегиба ¦( 0 ) = 0.