Тема 4. Функции нескольких переменных

Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x₁, х₂, ... , х_n) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (x₁, х₂ ,... , х_n).

Например, формула z = π x₁² х₂ задает объем цилиндра z как функцию двух переменных: радиуса основания x₁ и высоты х₂.

Переменные (x₁, х₂ , ... , х_n) называются независимыми переменными, z – зависимой переменной, а символ f означает закон соответствия. Множество Х называется областью определения функции.

Далее будет рассматриваться функция двух переменных z = f (x,у) с учётом того, что практически все понятия и теоремы, сформулированные для n = 2, переносятся и на случай n > 2.

Область определения Х для функции двух переменных есть подмножество координатной плоскости 0ху.

Окрестностью точки М₀ (х₀, у₀), принадлежащей области определения Х, называется круг, содержащий точку М₀.

Любой функции z = f (x,у) можно поставить в соответствие пару функций одной переменной: при фиксированном значении х = х₀ функцию z = f (x₀, у) и при фиксированном значении у = у₀ функцию z = f (x, у₀).

График функции двух переменных представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Для его построения рассматривают функции одной переменной z = f (x₀, у) и z = f (x, у₀), представляющие сечения графика z = f (x,у) плоскостями у = у₀ и х = х₀.

Как правило, построение поверхностей оказывается довольно трудной задачей. Поэтому для изучения поведения функции двух переменных используют линии уровня.

Линией уровня функции двух переменных z = f (x, у) называется множество таких точек на плоскости, в которых значение функции одно и то же и равно С.