Дифференциал функции и его свойства.

Дифференциалом функции называется главная линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной: dy = f ¢(x) Dх.

Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции у = 2х² – 3х при х =10 и Dх= 0,1.

Р е ш е н и е. Приращение функции Dу = ¦( х+Dх ) - ¦( х ) = [2( х+ +Dх)² – 3 (х+Dх)] - 2х² – 3х = 4x Dх +2Dх²-3Dх.

Дифференциал функции dy = f ¢(x) Dх = (4х-3) Dх.

При х =10 и Dх= 0,1 имеем Dу = 3,72 и dy =3,70. Различие составляет всего 0,02.

Пример 2. Найти дифференциал у = х.

Р е ш е н и е. dy = dх = х¢Dх, откуда dх = Dх, т.е дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Поэтому формулу для дифференцирования можно записать в виде

dy = f ¢(x) dх или f ¢(x) = dy / dx.

Свойства дифференциала (аналогичны свойствам производной).

1. dС = 0; 4. d(uv) = vdu + udv;

2. d(С u) = C du; 5. d(u/v) = (vdu – u dv)/ v².

3. d(u + v) = du +dv;

Инвариантность формы дифференциала.

Рассмотрим сложную функцию y = f(u), где аргумент сам является функцией u = j (х). Если эти функции дифференцируемы от своих аргументов, то производная сложной функции y = f [j (х)] вычисляется по формуле dy = f ¢(u) du.

Последнее равенство означает, что формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной х, рассматривать функцию от зависимой переменной u. Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала.